Diferencia entre revisiones de «Poliedros arquimedeanos»
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− | Los '''poliedros arquimedianos''' son [http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_convexo poliedros convexos] cuyas caras son [http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular polígonos regulares] (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 [http://es.wikipedia.org/wiki/Sólido_platónico sólidos platónicos]), cuyas [http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) aristas] son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos [http://es.wikipedia.org/wiki/Vértice_(geometr%C3%ADa) vértices] (forma de encuentro de las caras) son [http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa) congruentes] (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Todos los vértices son puntos de una superficie esférica que circunscribe al poliedro. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica. | + | Los '''poliedros arquimedianos''' o '''sólidos arquimedianos''' son [http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_convexo poliedros convexos] cuyas caras son [http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular polígonos regulares] (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 [http://es.wikipedia.org/wiki/Sólido_platónico sólidos platónicos]), cuyas [http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) aristas] son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos [http://es.wikipedia.org/wiki/Vértice_(geometr%C3%ADa) vértices] (forma de encuentro de las caras) son [http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa) congruentes] (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Todos los vértices son puntos de una superficie esférica que circunscribe al poliedro. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica. |
Revisión del 08:30 14 feb 2012
Los poliedros arquimedianos o sólidos arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Todos los vértices son puntos de una superficie esférica que circunscribe al poliedro. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.
Rasgos
Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos.
Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.
Por ser poliedros convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler[1]:
Nº de aristas + Nº de caras – Nº de vértices = 2,
como puede verificarse directamente de la tabla inferior.
La tabla siguiente da algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas[2]. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en el artículo Construcción de poliedros regulares y semirregulares desarmables. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.
Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[3] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraedro truncado | 12 | 60° - 120° - 120° | 18 | √(11/2)a ≅ 2,3a | 8 | 4 exágonos 4 triángulos |
Td | [4] | |
Cuboctaedro | 12 | 60° - 90° - 60° - 90° | 24 | 2a | 14 | 6 cuadrados 8 triángulos |
Oh | [5] | |
Cubo truncado | 24 | 60° - 135° - 135° | 36 | 14 | 6 octógonos 8 triángulos |
Oh | [6] | ||
Octaedro truncado o tetrakaidecaedro o eptaparaleloedro de Fedorov o poliedro de Kelvin |
24 | 90° - 120° - 120° | 36 | √10a ≅ 3,2a | 14 | 6 cuadrados 8 exágonos |
Oh | [7] | |
Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor |
24 | 60° - 90° -90° - 90° | 48 | 26 | 8 triángulos 18 cuadrados |
Oh | [8] | ||
Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[9] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
Cubo romo o cuboctaedro romo (2 enantiomorfos) |
24 | 60° - 60° - 60° - 60° - 90° | 60 | 38 | 6 cuadrados 32 triángulos |
O | [10] | ||
Icosidodecaedro o triakontágono |
150px |
30 | 60° - 108° - 60° - 108° | 60 | 32 | 12 pentágonos 20 triángulos |
Ih | ||
Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor |
48 | 90° - 120° - 135° o 90° - 135° - 120° |
72 | 26 | 6 octógonos 8 exágonos 12 cuadrados |
Oh | [11] | ||
Dodecaedro truncado | 60 | 60° - 144° - 144° | 90 | 32 | 12 decágonos 20 triángulos |
Ih | |||
Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[12] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
Icosaedro truncado | 60 | 108° - 120° - 120° | 90 | 32 | 20 exágonos 12 pentágonos |
Ih | [13] | ||
Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor |
60 | 60° - 90° - 108° - 90° | 120 | 62 | 12 pentágonos 30 cuadrados 20 triángulos |
Ih | |||
Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 enantiomorfos) |
150px 150px |
60 | 60° - 60° - 60° - 60° - 108° | 150 | 92 | 12 pentágonos 80 triángulos |
I | [14] | |
Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor |
150px |
120 | 90° - 120° - 144° o 90° - 144° - 120° |
180 | 62 | 12 decágonos 20 exágonos 30 cuadrados |
Ih | ||
Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[15] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
Algunas aplicaciones prácticas
- Cubo romo: cúpula bizantina sobre pechinas (en rigor, la superficie se obtiene de la intersección de la esfera que inscribe al cubo romo con el cubo del cual éste se obtiene por truncamiento).
- Icosaedro truncado: cúpulas geodésicas; pelotas de fútbol.
- Octaedro truncado: único poliedro semirregular capaz de llenar por repetición un volumen sin dejar intersticios.
- Rombicuboctaedro: forma antigua de faroles que llegó a ser usado en algunos de los primeros automóviles.
- Rombicosidodecaedro: cúpulas geodésicas; estructura de los fullerenos.
Fuentes
- Archimedean solid en WolframMathworld.
- Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. Discute interesantes usos artísticos pero la terminología no siempre es matemáticamente correcta.
- Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
- Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.