El concepto de área está tan vinculado a nuestras actividades cotidianas que tomar conciencia de él es tan difícil como percibir el aire que respiramos. Su origen es tan viejo como la humanidad, pero su formulación matemática precisa, lograda recién cuatro siglos atrás, es hoy sólo patrimonio de unos pocos profesionales de las ciencias exactas. Para terminar con esta indeseable situación hay que modificar la '''enseñanza del concepto de área''' desde la escuela primaria. El presente artículo, cuyo autor es [[Usuario:Csoliverez|Carlos E. Solivérez]], propone una manera de hacerlo.
El proceso de cubrimiento recién descripto conduce al mismo resultado que la inscripción o circunscripción en la circunferencia de polígonos regulares con cantidad creciente de lados. El centro y los vértices del polígono determinan triángulos isósceles la longitud de cuya base se hace infinitesimal (tiende a cero). Este método general de calcular un área cualquiera usando elementos de cubrimiento cada vez menores, el llamado ''pasaje al límite infinitesimal'', ya fue usado por los geómetras griegos hace más de 2.000 años. El uso de elementos de área infinitesimales es el punto de partida del cálculo integral inventado por [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#Desarrollo_del_C.C3.A1lculo Isaac Newton] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz#C.C3.A1lculo_infinitesimal Gottfried Leibniz] hace casi 4 siglos, base imprescindible de la Física y las ingenierías actuales.
==Del cubrimiento al concepto de integral==
El cálculo de áreas mediante la operación matemática de integración se estudia en las escuela escuelas industriales y universidades argentinas en la asignatura las asignaturas Análisis Matemático. Una de las principales razones por las que los estudiantes tienen grandes dificultades para aprehenderlo en este nivel, al igual que en la universidad, ambos niveles es porque su concepto noción de área no ha sido introducido desde incluye el punto de vista del cubrimiento.
<br>[[Archivo:Serie geométrica gráfica.jpg|500px|left|thumb|<center>'''Figura 9. Esta suma de infinitas áreas cada vez más pequeñas es finita.'''</center>]]En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas. En cambio, es contrario a nuestra intuición el que la suma de infinitos un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito. Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Tomamos Se toma para ello un cuadrado de área ''A '' y se lo dividimos divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2. Luego dividimos se divide en dos el este rectángulo para obtener un cuadrado de área ''A''/4. El proceso de subdivisión se continúa obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área A.[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'A''</center>]]Figura 9. Esta suma de infinitas áreas cada vez más pequeñas es finita.La secuencia numérica resultante corresponde a la denominada serie geométrica:
Esta secuencia corresponde a la serie [[Archivo:Serie geométricanumérica.jpg|center|300px]]
Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado.
En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 10 la curva superior está definida por la función y(x), cuyos valores para las abscisas indicadas es yn = y(xn). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior y el eje x son rectángulos de base constante Dx y altura variable yn. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados x e y, y están asentados sobre el eje horizontal x. El área A6 resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente:
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''Figura 10. Definición de una integral.'''</center>]]Figura 10. Definición de una integral.
El símbolo representa la operación de suma. El símbolo dx, introducido por Leibniz, indica el pasaje de Dx al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se reduce luego a una operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber.
Pareciera que el método no es apropiado para evaluar áreas de superficies cerradas arbitrarias, pero no es así. El uso de coordenadas cartesianas requiere descomponer el borde de la superficie (la curva y(x)) en segmentos de modo tal que el área deseada pueda obtenerse por diferencia. Como la explicación escrita es más complicada que la visual, remito al lector a la Figura 11 donde el área A deseada es la diferencia A1 – A2.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'''</center>]]Figura 11. El área del círculo es A = A1 A&sub1; – A2A&sub2;.'''</center>]]
También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada, como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 11. Estos sectores están determinados por su radio rn, el ángulo polar qn que éste determina con el eje horizontal y su apertura Dq, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 7. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''Figura 11. Cubrimiento con sectores circulares.'''</center>]]Figura 11. Cubrimientocon sectores circulares
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''Figura 12. Cubrimiento con cuadraditos infinitesimales.'''</center>]]Figura 12. Cubrimiento concuadraditos infinitesimales.
Sin embargo, las antedichas integrales simples dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso de cubrimiento completo allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados Dx y Dy cuyas longitudes tienden a cero. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho Dx se hace tender a cero, pero cuya altura Dy es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 12 son
==Fuentes==
* Versión inicial
* Jean Piaget (compilador), La explicación en las ciencias (Coloquio de la Academia Internacional de Filosofía de las Ciencias, Ginebra, 1970), Ediciones Martínez Roca, Barcelona (España), 1977. En especial el capítulo 13.
* Richard Courant y Herbert Robbins, Qué es la Matemática, Editorial Alda, Buenos Aires (Argentina), 1954, pp. 441-446.