Archivo:Cobertura superficies con triángulos.jpg|<center>'''Figura 32. También puede hacerse con triángulos equiláteros.'''</center>

En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas. En cambio, es contrario a nuestra intuición que la suma de un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito. Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Se toma para ello un cuadrado de área ''A'' y se lo divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2. Luego se divide en dos este rectángulo para obtener un cuadrado de área ''A''/4. El proceso de subdivisión se continúa obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área ''A''. La Esta secuencia numérica resultante corresponde a la denominada serie geométrica:

Para definir con total precisión el área delimitada por [[Archivo:Integral definición.jpg|300px|right|thumb|<center>'''Figura 10. Definición de una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiadointegral.'''</center>]]

Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado. En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 10 la curva superior está definida por la función ''y''(''x''), cuyos valores para las abscisas indicadas es yn ''y''_n= ''y''(xn''x''_n). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior ''y '' el eje ''x '' son rectángulos de base constante Dx ''&Delta;_x'' y altura variable yn''y''_n. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados ''x '' e ''y'', y están asentados sobre el eje horizontal ''x''. El área A6 ''A''₆ resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente:

[[Archivo:Integral A6.jpg|300px||thumb130px|<center>'''Figura 10. Definición de una integral.'''</center>]]

El símbolo &int; representa la operación de suma. El símbolo ''dx'', introducido por Leibniz, indica el pasaje de Dx ''&Delta;_x'' al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se reduce vincula luego a una un operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber.