Poliedros arquimedeanos

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Los poliedros arquimedeanos o sólidos arquimedeanos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de 2 o 3 clases diferentes, cuyas aristas son todas de igual longitud y todos sus vértices son puntos de la esfera que los circunscribe. Los ángulos poliedros que determinan las aristas en cada vértice son todos congruentes. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.


Rasgos principales

Un poliedro o sólido arquimedeano tiene los siguientes rasgos:

  1. El segmento determinado por 2 vértices cualesquiera es siempre interior al cuerpo (es un poliedro convexo).
  2. Todos sus vértices son puntos de una esfera de diámetro D (esfera circunscripta, véase la tabla inferior).
  3. Sus caras son polígonos regulares de por lo menos 2 tipos diferentes (es semirregular).
  4. Todas sus aristas tienen la misma longitud.
  5. Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son convexos (es un polígono convexo). Es decir, la suma de los ángulos internos de todas las caras con un vértice común es menor que 360°. Esto limita drásticamente las combinaciones de polígonos regulares que pueden formar las caras.
  6. Sus caras pertenecen a 2 o a lo sumo a 3 de las siguientes categorías de polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.
  7. Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son congruentes, es decir, pueden superponerse exactamente por traslaciones, rotaciones o/y reflexiones. Ésto permite construirlos de modo simple usando "esquineros" similares para todos los vértices.
  8. Satisface (por ser un poliedro convexo) la relación de Euler[1]: Nº de vértices + Nº de caras – Nº de aristas = 2, como puede verificarse directamente de la tabla inferior.

El uso combinado de las relaciones 5 y 8 permiten determinar la cantidad de sólidos arquimedeanos posibles. Usualmente se considera que hay 15 poliedros arquimedeanos diferentes, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas de caras laterales son cuadrados o triángulos equiláteras y cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al cuadrado (este prisma coincide con el cubo). Por esta razón es usual, aunque no hay consenso universal al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedeanos.

La tabla siguiente da algunos datos importantes de los poliedros arquimedeanos. En tipos de caras se especifica la cantidad de caras que pertenece a cada tipo de polígono regulare. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas[2]. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en el artículo Cómo armar poliedros. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.


Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[3] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Tetraedro truncado Tetraedro truncado.jpg
Vea animación.
12 60° - 120° - 120° 18 √(11/2)a  ≅ 2,3a 8 4 exágonos
4 triángulos
Td [4]
Cuboctaedro Cuboctaedro.jpg
Vea animación.
12 60° - 90° - 60° - 90° 24 2a 14 6 cuadrados
8 triángulos
Oh [5]
Cubo truncado Cubo truncado.jpg
Vea animación.
24 60° - 135° - 135° 36 D cubo truncado.jpg 14 6 octógonos
8 triángulos
Oh [6]
Octaedro truncado
o
tetrakaidecaedro
o
eptaparaleloedro de Fedorov
o
poliedro de Kelvin
Octaedro truncado.jpg
Vea animación.
24 90° - 120° - 120° 36 √10a  ≅ 3,2a 14 6 cuadrados
8 exágonos
Oh [7]
Rombicuboctaedro
o
rombicuboctaedro menor
Rombicuboctaedro.jpg
Vea animación.
24 60° - 90° -90° - 90° 48 D rombicuboctaedro.jpg 26  8 triángulos
18 cuadrados
Oh [8]
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[9] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Cubo romo
o
cuboctaedro romo
(2 enantiomorfos)
Cubo romo antihorario.jpg
Vea animación.

Cubo romo horario.jpg
Vea animación.
24 60° - 60° - 60° - 60° - 90° 60 D cubo romo.jpg 38  6 cuadrados
32 triángulos
O [10]
Icosidodecaedro
o
triakontágono
Icosidodecaedro.jpg
Vea animación.
30 60° - 108° - 60° - 108° 60 D icosidodecaedro.jpg 32 12 pentágonos
20 triángulos
Ih [11]
Cuboctaedro truncado
o
rombicuboctaedro mayor
Cuboctaedro truncado.jpg
Vea animación.
48 90° - 120° - 135°
o

90° - 135° - 120°
72 D cuboctaedro truncado.jpg 26  6 octógonos
 8 exágonos
12 cuadrados
Oh [12]
Dodecaedro truncado Dodecaedro truncado.jpg
Vea animación.
60 60° - 144° - 144° 90 D dodecaedro truncado.jpg 32 12 decágonos
20 triángulos
Ih [13]
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[14] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Icosaedro truncado Icosaedro truncado.jpg
Vea animación.
60 108° - 120° - 120° 90 D icosaedro truncado.jpg 32 20 exágonos
12 pentágonos
Ih [15]
Rombicosidodecaedro
o
rombicosidodecaedro menor
Rombicosidodecaedro.jpg
Vea animación.
60 60° - 90° - 108° - 90° 120 D rombicosidodecaedro.jpg 62 12 pentágonos
30 cuadrados
20 triángulos
Ih [[16]]
Dodecaedro romo
o
icosidodecaedro romo
(2 enantiomorfos)
Dodecaedro romo antihorario.jpg
Vea animación.

Dodecaedro romo horario.jpg
Vea animación.
60 60° - 60° - 60° - 60° - 108° 150 ≅ 4,3a 92 12 pentágonos
80 triángulos
I [17]
Icosidodecaedro truncado
o
rombicosidodecaedro mayor
Icosidodecaedro truncado.jpg
Vea animación.
120 90° - 120° - 144°
o

90° - 144° - 120°
180 D icosidodecaedro truncado.jpg 62 12 decágonos
20 exágonos
30 cuadrados
Ih [18]
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[19] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes


Algunas aplicaciones prácticas

Cúpula sobre pechinas de la
mezquita de Ahmed en Estambul.
  • Cubo romo: cúpula bizantina sobre pechinas (en rigor, la superficie se obtiene de la intersección de la esfera que inscribe al cubo romo con el cubo del cual éste se obtiene por truncamiento).
  • Icosaedro truncado: cúpulas geodésicas; pelotas de fútbol.
  • Octaedro truncado: único poliedro semirregular capaz de llenar por repetición un volumen sin dejar intersticios.
  • Rombicuboctaedro: forma antigua de faroles que llegó a ser usado en algunos de los primeros automóviles.
  • Rombicosidodecaedro: cúpulas geodésicas; estructura de los fullerenos.

Fuentes

  • Archimedean solid en WolframMathworld.
  • Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. Discute interesantes usos artísticos pero la terminología no siempre es matemáticamente correcta.
  • Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
  • Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.

Véase también