El Usamos continuamente el '''origen del concepto de númeronatural''' pese a que no es matemáticopodemos explicarlo bien ni definirlo con precisión. Sus aplicaciones prácticas exceden largamente nuestra comprensión y sin ellos no serían posibles ciencias exactas como la Física, ninguna de las ingenierías y la mayoría de las tecnologías, incluyendo a todas las industriales. La Economía tampoco sería viable sin ellos, sino al revésya que todas las transacciones comerciales se cuantifican con números en términos de unidades de valor de cambio como los pesos ($). La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y de se establecieron con rigor todas las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos(construcciones, cálculo de impuestos, comercio…), después como una disciplina independiente de sus aplicaciones—tema que no se discute aquí—. Sin embargo, la Matemática no explica el ''concepto de número'' en términos comprensibles para no matemáticos, sólo lo formaliza de modo de evitar errores y contradicciones en su uso, extendiéndolo más allá del concepto inicial de número natural (1, 2, 3.......), base del concepto más general de números reales que incluye a los racionales (fracciones), radicales (raíces de todo orden) y transcendentes como ''e'' y ''&pi;'' (pi). En este artículo se discute sólo el origen intuitivo del concepto de númeronatural, fundamento de todos los demás, poniendo tratando de poner en evidencia —con fines educativos— mayoritariamente docentes— dos de sus dos [[rasgo]]s fundamentales independientes: esenciales. El primero es la medida de la cantidad que en Matemática se denomina el ''cardinal y el ordinal'' de un conjunto de elementos. Aunque todavía hay polémicas sobre El segundo es el peso "grandor relativo" de los diferentes cardinales, cuándo uno es mayor (>) o menor (<) que debe darse a cada uno y el otro; es decir, las relaciones numéricas de orden en que deben introducirse en . Durante el auladesarrollo se discute la independencia de estos dos rasgos, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación hecho de que uno de los instrumentos matemáticos del cálculoellos puede estar presente sin el otro.

==IntroducciónEnfoque de este artículo==Usamos continuamente el El concepto de número, pero prestamos escasa o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales que natural puede ser interpretado de modos muy diferentes según quienes lo fundamentan. La principal manera de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso de desarrollo cognitivo de los niñosanalicen: psicólogos cognitivos, como han hecho numerosos psicólogos (véasematemáticos, por ejemplohistoriadores, el trabajo de Brainerd y las críticas docentes u otras personas que le hicieron otros investigadores)sólo quieran estar mejor informadas sobre este concepto tan básico. El objetivo de Es por ello imprescindible discutir del modo más claro posible el enfoque elegido para este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales.

El concepto de número Los psicólogos cognitivos están interesados en la secuencia temporal en que se desarrolla después que el niño es capaz desarrollan las destrezas cognitivas de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decirlas personas, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellosen especial los niños. Es entonces cuando puede comprender la agrupación A partir de una o más instancias los trabajos pioneros del biólogo suizo [[constructivismo|Jean Piaget]] en las décadas de una misma categoría de objetos1930 y 1940 (véase, como piedrasespecialmente, monedas''Génesis del número en el niño''), perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de númeroha sido un continuo tema de investigación (véase, por ejemplo, concepto que incluye más características que el trabajo de la mera diversidad en cantidadBrainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). No Los desarrollos cognitivos son, a veces, incrementales, es decir, uno de ellos es que todos loss agrupados sean idénticosrequisito de otro. Por ejemplo, es sólo imposible hacer experimentos avanzados de cardinalidad —los que los sentidos y exceden las destrezas innatas del niño, véase el cerebro humano tienen ''conteo súbito'' en la capacidad de percibir sección siguiente— con un bebé que no ha alcanzado todavía a discernir objetos individuales y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten a comprender su perdurabilidad en el tiempo (la agrupación ''conservación de los mismos en clases o categorías objetos'' de modo comunicable a otras personasPiaget). Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupacionesOtras veces, en Matemática llamados conjuntoscambio, de "piedritas", comos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otroses posible llegar al mismo concepto por vías diferentes. Es en este sentido Algunos experimentos sugieren que se usa aquí, en lo sucesivo, el proceso de formación del concepto de número el concepto de ''ordinal'ente'precede al de ''cardinal'' (caso de Brainerd), más general mientras otros indican que el de objeto que es un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones otras vías pueden estar en juego (caso de objetos Rips y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipocolaboradores).

Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes El concepto de número natural se desarrolla recién después que el niño es necesario identificar capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar: el cardinal categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y el ordinaldiferencias muy básicas entre ellos. La combinación Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de estos rasgosobjetos, como piedras, monedas, perros, y otros másárboles, con algunas operaciones personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que pueden hacerse con ellos, conducen al recién culminará en el concepto matemático de número natural, concepto que incluye más características que el más sencillo de la mera diversidad en cantidad. No es que todoslos objetos agrupados sean idénticos, ordenados es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en la secuencia creciente 1clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, 2, 3, 4… Esto conduce luegodentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupaciones —en Matemática llamadas conjuntos— de modo bastante similar"piedritas", a magnitudes como las longitudeselementos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, áreasen lo sucesivo, volúmenesel concepto de ''elemento'', pesos, cargas eléctricas y otrosmás general que el de ''objeto'' (cuerpo material con límites bien definidos). La importancia tecnológica razón de las magnitudes numéricamente cuantificadas estos requisitos es que permiten la formulación el concepto de leyes número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de fenómenos objetos y símbolos que son la base no corresponden a objetos materiales de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos másningun tipo.

Los matemáticos, por su parte, han fundamentado el concepto de número natural de dos modos completamente diferentes que no requieren el uno del otro si sólo se atiende al rigor de los procedimientos. El primero de estos modos, introducido en 1884 por el matemático alemán Gottlob Frege, corresponde básicamente al esbozado en la sección siguiente para la determinación del cardinal de un conjunto en base a biyecciones. El segundo —basado en el concepto de orden y en grandes líneas coincidente con la discusión de la sección sobre ese tema— fue introducido por el italiano Giuseppe Peano en 1894, como el siguiente conjunto de cinco axiomas: # 1 es un número natural.# Cualquier número que es el resultado de sumarle 1 a un número natural (su número siguiente), es también un número natural.# No hay dos números naturales diferentes que tengan el mismo número siguiente.# El número 1 no es el siguiente de ningún número natural.# La serie de los números naturales incluye al número 1 y a los siguientes de todos los números naturales. Cualquiera de las dos maneras de introducirlos es suficiente para fundamentar las operaciones con números naturales de modo tal que no conduzca a error o contradicción. Esta forma de dar origen a los números no tiene nada que ver con el origen cognitivo del concepto y su secuencia temporal de adquisición por una persona típica de alguna clase social de alguna cultura del planeta (proceso ''situado''). Es nada más y nada menos que un requisito para asegurar que no habrá violaciones de la Lógica Matemática, tema completamente diferente. Una tercera y frecuente aproximación al concepto de número es el estudio de la historia de su uso. El uso cardinal es muy antiguo en la especie humana, no se sabe con certeza cuanto. Se han encontrado, por ejemplo, marcas talladas en huesos o inscripciones en roca que los arqueólogos interpretan como el cardinal de conjuntos que pueden ser presas, o bienes valiosos de cualquier tipo. El establecimiento de símbolos numéricos y la realización de operaciones con ellos es mucho más cercano en el tiempo, porque requiere de la escritura. Los más antiguos, que ya incluyen operaciones matemáticas complejas, se encuentran en el Medio Oriente, en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Escritura_cuneiforme escritura cuneiforme] de la civilización sumeria. Esto no aporta demasiado, sin embargo, sobre los rasgos centrales de los números. Los niños no ingresan a la escuela en la etapa inicial de su desarrollo cognitivo, sino en una en que los conceptos y operaciones que aquí se describen ya se han alcanzado y practicado, aunque por regla general con muy diferentes grados de refinamiento por una diferente intensidad de práctica. Entre los objetivos del docente no se cuentan el de investigar etapas de evolución cognitiva, los grados de rigor lógico de los conceptos que fundamentan las operaciones aritméticas ni la historia de su aparición en la [[cultura]] humana. El objetivo es lograr que los niños incorporen el concepto matemático de número del modo más rápido posible y lo usen del modo más correcto posible, proporcionándoles métodos simples de verificación de la corrección de sus operaciones. La secuencia conceptual que aquí se presenta, puesta en práctica con didácticas adecuadas, puede ser un medio [[eficiencia|eficiente]] para el logro de este objetivo, aunque probablemente no sea el único viable. Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciar: el cardinal y el ordinal. La combinación de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a la cuantificación de magnitudes como longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más. El objetivo de este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales. En lo que sigue se discuten los rasgos cardinal y ordinalde los números, así como base de las operaciones más básicas que se pueden hacer con los números naturales: sumarlos y restarlos. En todos los casos se usará el término ''enteelemento'' para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similares. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de elementos, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente se usarán deben usarse sólo agrupaciones de elementos idénticos, sólo en dejando para una etapa más avanzada es viable formarlas su constitución con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas elementos para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y restade magnitudes físicas, donde los elementos deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicaspertenecer a la misma categoría por la misma razón que no se pueden sumar peras a zapatos.

Para llevar a cabo su tarea el primer consejero se provee de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda del bolso izquierdo y lo coloca en la derechael derecho. Cuando termina de ver a todos lleva la bolsa izquierda el bolso de su hombro derecho a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos regalos como porotos hay en interiorcontiene.

El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en el bolso de la bolsa izquierdaderecha. Lo único que tuvo que hizo fue hacer corresponder un poroto (y sólo uno ) a cada jefe de familia, destreza natural en todas normal de las personas adultas normales. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron.

La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina [http://es.wikipedia.org/wiki/Biyección ''biyección'']—establece la igualdad del cardinal de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que el cardinal no es un rasgo propio de un objeto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala dice ya que '''los números no son objetos ni rasgos de objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanasabstractas'''.

==Orden Desde el punto de los elementos de un conjunto==vista matemático el cardinal tiene dos fundamentos esenciales:# El '''origen del concepto de númerocorrespondencia uno a uno entre elementos (''biyección' no es matemático, sino al revés. La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el ');# El concepto de número y igualdad de las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos, después como una disciplina independiente de sus aplicacionescorrespondencias. En este artículo el ejemplo dado, se discute requiere la igualdad —mediada por el origen intuitivo cardinal de los porotos del concepto bolso de número, poniendo en evidencia —con fines educativos— sus dos [[rasgo]]s fundamentales independientes: referencia— entre el cardinal del conjunto de jefes de familia y el ordinal. Aunque todavía hay polémicas sobre el peso que debe darse a cada uno y el orden en que deben introducirse en el aula, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación del conjunto de los instrumentos matemáticos del cálculoregalos.

==IntroducciónGrandor relativo de los cardinales==Usamos continuamente El concepto de cardinal no basta para establecer el concepto de número, pero prestamos escasa o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales que lo fundamentan. La principal manera mente humana sólo tiene la capacidad de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso reconocer de desarrollo cognitivo modo instantáneo, sin contar de modo sucesivo, los niñoscardinales 1, 2, 3 y 4, facultad que en inglés se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Subitize ''subitizing''], que puede traducirse como han hecho numerosos psicólogos (véase''conteo súbito''. Algunos científicos consideran que podría ser considerado un sentido más, por ejemplotambién presente en algunos primates superiores, el trabajo de Brainerd y las críticas al que le hicieron otros investigadoresdenominan ''numerosity'' (''numerosidad'')[http://www.livescience. El objetivo com/39441-is-numerosity-humans-sixth-sense.html?cmpid=532500]. Para determinar la cardinalidad de grupos más grandes debemos tener un conjunto de referencia de todos los diferentes cardinales (método poco práctico) o numerar sus elementos de este artículo no modo sucesivo, es decir, contarlos. Es necesario, por ello, analizar detalladamente la evolución histórica del estudio del concepto relación de número, ni orden implícita en Psicología ni en Matemática, sino establecer un recuento de cualquier tipo de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordialeselementos.

El Para no introducir los símbolos numéricos en una discusión previa a este concepto , bautizaremos a los cardinales de número se desarrolla después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos 1 a 4 con ''u'', ''d'', ''t'' y diferenciar categorías de ellos. Es decir''c'' (los nombres podrían haber sido otros, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellosno es importante). Es entonces cuando Se puede comprender hacer lo mismo con la agrupación cardinalidad de una o los conjuntos más instancias de una misma categoría de objetosfrecuentemente útiles, como piedras, monedas, perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación los que recién culminará en el concepto matemático de número, concepto que incluye más características que el de caracterizan la mera diversidad en cantidad. No es que todos los entes agrupados sean idénticosde hijos, es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Asícabritos, dentro de un cierto rango de tamañocacerolas, se puede hablar de agrupaciones, en Matemática llamados flechas… La Figura 1 ilustra estos conjuntosordenados al azar, de "piedritas", como entes intercambiables ya que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, en lo sucesivo, el concepto de '''ente''', más general que el de objeto que es hay todavía un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipocriterio para hacerlo.

Los números tienen dos <br>[[rasgo]]s completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciarArchivo: el cardinal y el ordinalCardinal grupos botones. La combinación de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente jpg|1000px|center|thumb|<small><center>'''Figura 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a magnitudes como las longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación Los cardinales de leyes algunos grupos de fenómenos que son la base botones pasibles de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más''conteo súbito''.'''</center></small>]]<br>

En lo que sigue se discuten los rasgos Un cardinal y ordinalparticular, caracterizado por un conjunto de referencia (concepto similar al de unidad de medida), así como las operaciones más básicas sólo permite identificar los conjuntos que se pueden hacer tienen la misma cantidad de elementos, aquellos con los números naturales: sumarlos y restarlosque se puede establecer una correspondencia de uno a uno (biyección). En todos los casos se usará el término No basta, entonces, para lo que habitualmente denominamos ''entemedir'' , para ser totalmente abarcativolo que se requiere es saber cuál conjunto tiene más (o menos) elementos, pero en tiene un cardinal mayor (o menor) que el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similaresotro. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de entes, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente Veamos cómo se usarán sólo agrupaciones definen de entes idénticos, sólo en una etapa avanzada es viable formarlas con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para modo operativo las operaciones relaciones de suma mayor y resta, donde los entes deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicasmenor.

==Cardinalidad El cardinal de un conjunto==Para facilitar es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos verificar que los cardinales ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática, una ''cota superior'') para la comprensión cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se puede construir otro de mayor cardinalidad agregándole elementos, hecho que es la base de la introducción del tema se introduce el concepto de cardinalidad infinito (simbolizado en Matemática con el ejemplo siguiente∞).

El jefe cardinal de una tribu decide invitar a todos los jefes un conjunto es menor que el de familia a una reunión donde otro si se discutirán temas comunes de gran importanciapuede obtener quitándole al último uno o más elementos. Para asegurar la buena voluntad Así, los cardinales de todos ''u'', ''d'' y no despertar la enemistad ''t'' son menores que el cardinal de nadie''c'', quiere hacer porque se obtienen quitando elementos a todos éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''u'' y cada uno de ellos un regalo idéntico ''d'' son menores que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar''t'' y ''c'', y que el de modo ''u'' es menor que el jefe de ''d'', ''t'' y ''c''. Aquí aparece un importante hecho nuevo: no sabe como asegurarse hay agrupación de elementos con cardinal menor que la cantidad el de regalos será la justa''u'', porque si le quito a éste su único elemento no tengo ninguna agrupación. Esta restricción histórica inicial fue posteriormente eliminada de modo la Matemática extendiendo el nombre de no saltearse conjunto también a nadie ni preparar regalos una agrupación sin destinatario. Cuando plantea el problema a sus consejerosningún elemento, cuya cardinalidad (el más viejo y sabio de todos —su primer consejero cero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él 0) no se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manosdiscutirá aquí.

Para llevar a cabo su tarea ==Hacia el primer consejero se provee concepto abstracto de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda y lo coloca en la derecha. Cuando termina de ver a todos lleva la bolsa izquierda a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos como porotos hay en interior.número==<br>El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en la bolsa izquierda. Lo único que tuvo que hacer corresponder un poroto y sólo uno a cada jefe de familia, destreza natural en todas las personas adultas normales. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron. La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina [http[Archivo://esCardinales por representaciones.wikipedia.org/wiki/Biyección jpg|1000px|center|thumb|<small><center>''biyección'']—establece la igualdad de la cardinalidad Figura 2. Si un niño no es capaz de asignar correctamente los símbolos a cada uno de los tres estos conjuntos comparados: el y ordenarlos de los jefes de familia, el de los porotosmodo creciente, el de los regalos. Nótese que la cardinalidad no es un rasgo propio de un conjunto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso entiende el concepto matemático de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala ya que los números no son objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanasnúmero natural.'''</center></small>]] ==Orden de los entes de un conjunto==<br>

==Fuentes==* las agrupaciones de objetos por sus representaciones (en papel o en la pantalla de una computadora como en la Figura 1);* Brainerdlos conjuntos de referencia o sus representaciones, por sus nombres (símbolos), Charles J.; [http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v228/n3/pdf/scientificamerican0373-101.pdf caso en que recién cobran sentido las denominaciones 1 (en vez de ''The origins of Number Conceptsu''] ), 2 (Los orígenes de los conceptos de número''d''); revista Scientific American, vol.&nbsp;223 N&ordm;&nbsp;3(''t''), 4 (''c'') y así siguiendo; EEUU; marzo * las operaciones con conjuntos por operaciones con sus representaciones o símbolos, como los de 1973; ppla Figura 2.&nbsp;101&#8209;109.* Lakoff

* Lakoff{{:ISBN 9780465037711}}. El capítulo 1 cita numerosas evidencias sobre las habilidades numéricas de los niños, incluyendo el ''conteo súbito'' (pp.&nbsp;15&#8209;26). El capítulo 3 discute las [[metáfora]]s básicas que subyacen la construcción de las operaciones aritméticas con números enteros y racionales.* Piaget, Jean; ''Génesis del número en el niño''; Edit. Guadalupe; Ciudad de Buenos Aires; 1967. Una breve síntesis del contenido del libro, con muchas referencias adicionales, puede encontrarse en John Flavell, ''La psicología evolutiva de Jean Piaget'', Edit. Paidós, Barcelona (España), 1982, ISBN 8475091083, pp.&nbsp;330&#8209;336.* Rips, Lance J. & Bloomfield, Amber & Asmuth, Jennifer; ''From numerical concepts to concepts of number''; revista Behavioral and Brain Sciences, vol.&nbsp;31; EEUU; 2008; pp.&nbsp;623687; doi:10.1017/S01 405525X08005566. El artículo contiene numerosas referencias así como adhesiones y refutaciones a los experimentos citados.* Solivérez, Carlos E.; [http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/f/f1/Rasgos_centrales_del_concepto_de_número_por_Carlos_E._Solivérez.pdf ''Rasgos centrales del concepto de número''], versión original de este artículo en formato pdf.* Turégano, Pilar & Montañés, Juan & Parra, Marta & Sánchez, Trinidad; [http://www.uclm.es/ab/educacion/ensayos/pdf/revista15/15_20.pdf ''El concepto de número natural y las cuatro operaciones básicas: marco teórico'']; Revista de la Facultad de Educación de Albacete, N&ordm;15; (España); 2000; pp.&nbsp;283&#8209;313.