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* Presentación, por J. Rey Pastor. 1.
* Prefacio. 3.
* Prefacio a la segunda edición. 5.
* Cómo utilizar este libro. 5.
* ¿Qué es la matemática? 7.
* Capítulo I: Los números naturales. 13.
** Introducción. 13.
** § 1. Cálculo con enteros. 13.
*** 1. Leyes de la Aritmética. 2. Representación de los enteros. 3. Cálculo en sistemas no decimales.
** § 2. La infinitud del sistema numérico. Inducción matemática. 23.
*** 4. El principio de la inducción matemática. 5. La progresión aritmética. 6. La progresión geométrica. 7. La suma de los n primeros cuadrados, cubos, etc. 8. Una desigualdad importante. 9. El teorema binomial. 10. Notas adicionales sobre la inducción matemática.
* Suplemento al Capítulo I. - La teoría de los números. 37.
** Introducción . 37.
** §1. Los números primos. 37.
*** 11. Definiciones y teoremas fundamentales. 12. La distribución de los primos. a) Fórmulas que producen primos. b) Los números primos en las progresiones aritméticas. c) El teorema de la distribución de los números primos. d) Dos problemas todavía no resueltos sobre números primos.
** §2. Congruencias. 48.
*** 13. Conceptos generales. 14. Teorema de Fermat. 15. Restos cuadráticos.
** §3. Números pitagóricos y último teorema de Fermat. 58.
*** 16. Números pitagóricos. 17. El último teorema de Fermat.
** §4. El algoritmo euclídeo. 60.
*** 18. Teoría general. 19. Aplicación al teorema fundamental de la Aritmética. 20. Números primos entre sí. Indicador. 21. Fracciones continuas. 22. Ecuaciones diofánticas.
* Capítulo II: El sistema numérico de la Matemática. 71.
** Introducción. 71.
** §1. Los números racionales. 71.
*** 23. Los números racionales, recurso para medir. 24. Necesidad intrínseca de los números racionales. Generalizaciones. 25. Interpretación geométrica de los números racionales.
** §2. Segmentos inconmensurables, números irracionales y el concepto de límite. 78.
*** 26. Introducción. 27. Fracciones decimales. Decimales infinitos. 28. Límites. Series geométricas infinitas. 29. Números racionales y Decimales periódicos. 30. Definición general de los números irracionales por intervalos decrecientes. 31. Otros métodos para definir los números irracionales. Cortaduras de Dedekind.
** §3. Observaciones sobre geometría analítica. 95.
*** 32. El principio básico. 33. Ecuaciones de rectas y curvas.
** §4. Análisis matemático del infinito 100.
*** 34. Conceptos fundamentales. 35. Numeralidad de los números racionales y no numerabilidad del continuo. 36. Números cardinales de Cántor. 37. El método indirecto de demostración. 38. Las paradojas del infinito. 39. Los fundamentos de la Matemática.
** §5. Números complejos. 113.
*** 40. El origen de los números complejos. 41. Interpretación geométrica de los números complejos. 42. Fórmula de Moivre y raíces de la unidad. 43. El teorema fundamental del Álgebra.
** §6. Números algebraicos y trascendentes. 128.
*** 45 El teorema de Liouville y la construcción de números trascendentes.
*** Suplemento al Capítulo II: El álgebra de los conjuntos. 133.
*** 46. Teoría general. 47. Aplicación a la lógica matemática. 48. Aplicación a la teoría de la probabilidad.
* Capítulo III: Contrucciones geométricas. Álgebra de los cuerpos numéricos. 142.
** 49. Introducción. 142.
** Parte I. Las demostraciones de imposibilidad y el álgebra. 146.
*** 50. Construcción de cuerpos numéricos y extracción de raíz cuadrada. 51. Polígonos regulares. 52. Problemas de Apolonio.
** § 2. Números construíbles y cuerpos de números. 154.
*** 53. Teoría general. 54. Cuerpos construíbles con regla y compás. 55. Todos los números construíbles son algebraicos.
** § 3. La no resolubilidad de los tres problemas griegos. 162.
*** 56. Duplicación del cubo. 57. Un teorema sobre ecuaciones cúbicas. 58. Trisección del ángulo. 59. El heptágono regular. 60. Notas acerca de la cuadratura del círculo.
** Parte II: Varios métodos para obtener construcciones. 169.
*** 61. Notas generales. 62. Propiedades de la inversión. 63. Construcción geométrica de puntos inversos. 64. Cómo bisecar el segmento y encontrar el centro del círculo con el compás solo.
** § 5. Construcciones con. otros instrumentos. Construcciones de Mascheroni con compás solamente. 175.
*** 65. Construcción clásica para duplicar el cubo. 66. Construcciones con la restricción de usar el compás solamente. 67. Dibujo con instrumentos mecánicos. Cicloides. 68. Enlaces. Inversores de Peaucellier y de Hart.
** § 6. Complementos sobre inversiones y sus aplicaciones. 187.
*** 69. Invariancia de los ángulos. Familias de círculos. 70. Aplicación al problema de Apolonio. 71. Reflexiones repetidas.
* Capítulo IV: Geometría Proyectiva. Axiomática. Geometría no euclidiana. 195.
** §1. Introducción. 195.
*** 72. Clasificación de las propiedades geométricas. Invariancia respecto de transformaciones. 73. Transformaciones proyectivas.
** §2. Conceptos fundamentales. 198.
*** 74. Grupo de transformaciones proyectivas. 75. Teorema de Desargues.
** §3. Razón anarmónica. 203.
*** 76. Definición y prueba de invariancia. 77. Definición de la proyectividad mediante la razón anarmónica. 78. Aplicación al cuadrilátero completo.
** §4. Paralelismo e infinito. 212.
*** 79. Puntos del infinito como "puntos ideales". 80. Elementos ideales y proyección. 81. Razón anarmónica con elementos del infinito.
** §5. Aplicaciones. 218.
*** 82. Notas preliminares. 83. Demostración del teorema de Desargues en el plano. 84. Teorema de Pascal. 85. Teorema de Brianchon. 86. Nota sobre dualidad.
** §6. Representación analítica. 225.
*** 87. Observaciones preliminares. 88. Coordenadas homogéneas. Base algebraica de la dualidad.
** §7. Problemas de construcción con regla solo. 230.
** §8. Cónicas y superficies cuádricas. 232.
*** 90. Geometría métrica elemental de las cónicas. 91. Propiedades proyectivas de las cónicas. 92. Las cónicas como, envolventes. 93. Los teoremas generales de Pascal y Brianchon sobre las cónicas. 94. El hiperboloide.
** §9. Axiomática y geometría no euclidiana. 248.
*** 95. El método axiomático. 96. Geometría no euclidiana hiperbólica. 97. Geometría y realidad. 98. El modelo de Poincaré. 99. Geometría elíptica o Riemanniana.
* Apéndice: Geometria de más de tres dimensiones. 263.
** § 2. Propiedades topológicas de las figuras. 276.
*** 105. Propiedades topológicas. 106. Conexión.
** §3. Otros ejemplos de teoremas topológicos.
*** 107. El teorema de la curva de Jordán. 108. El problema de los cuatro colores. 109. El concepto de dimensión. 110. Un teorema de punto invariante: 111. Nudos.
** §4. Clasificación topológica de las superficies. 292.
*** 112. Género de una superficie. 113. Caracterización euleriana de una superficie. 114. Superficies uniláteras.
* Apéndice. 299.
** 115. El teorema de los cinco colores. 116. El teorema de la curva de Jordan para polígonos. 117. El teorema fundamental del Álgebra.
* Capítulo VI: Funciones. y límites. 308.
** 118. Introducción. 308.
** § 1. Variable y función. 309.
*** 119. Definiciones y ejemplos. 120. Medida de los ángulos en radianes. 121. Gráfica de una función. Funciones inversas. 122. Funciones compuestas. 123. Continuidad. 124. Funciones de varias variables. 125. Funciones y transformaciones.
** § 2. Límites. 326.
*** 126. Límite de una sucesión a. 127. Sucesiones monótonas. 128. El número e de Euler. 129. El número π. 130. Fracciones continuas.
** § 3. Límites por aproximación continua. 339.
*** 131. Introducción. Definición general. 132. Observaciones sobre el concepto de límite. 133. El límite de sen x/x. 134. Límites cuando x → ∞.
** § 4. Definición precisa de la continuidad. 346.
*** 135. Definición general.
** § 5. Dos teoremas fundamentales sobre las funciones continuas. 349.
*** 136. Teorema de Bolzano. 137. Teorema de Weierstrass sobre valores extremos. 138. Un teorema sobre sucesiones. Conjuntos compactos.
** § 6. Algunas aplicaciones del teorema de Bolzano. 353.
*** 139. Aplicaciones geométricas. 140. Aplicación a un problema de Mecánica.
* Suplemento al Capítulo VI: Más ejemplos sobre límites y continuidad.
** § 1. Ejemplos de límites. 358.
*** 141. Observaciones generales. 142. Límite de q<sup>n</sup>. 143. Limite de raíz enésima de p. 144. Las funciones discontinuas como límites de funciones continuas. 145. Límites por iteración. 146. Un ejemplo sobre continuidad.
* Capítulo VII: Máximos y mínimos. 365.
** 147. Introducción. 365.
** § 1. Problemas de Geometría elemental. 366.
*** 148. Triángulo de superficie máxima, conocidos dos lados. 149. Teorema de Herón. Propiedad extremal de los rayos luminosos. 150. Aplicaciones a problemas sobre triángulos. 151. Propiedades de las tangentes a la elipse y la hipérbola. Propiedades extremales de las mismas. 152. Distancias extremas a una curva dada.
** § 2. Un principio general sobre los problemas de valores extremos. 375.
*** 153. El principio. 154. Ejemplos.
** § 3. Los puntos estacionarios y el cálculo diferencial. 378.
*** 155. Puntos extremos y estacionarios. 156. Máximos y mínimos de las funciones de varias variables. Puntos de ensilladura. 157. Puntos críticos y Topología. 158. Distancia de un punto a una superficie.
** § 4. El problema del triángulo de Schwarz. 384.
*** 159. La demostración de Schwarz. 160. Otra demostración. 161. Triángulos obtusos. 162. Triángulos formados por rayos luminosos. 163. Sobre los problemas de la reflexión y el movimiento ergódico.
** § 5. El problema de Steiner. 391.
*** 164. El problema y la solución. 165. Análisis de los casos posibles. 166. Un problema complementario. 167. Observaciones y ejercicios. 168. Generalización para el problema de la red de caminos.
** § 6. Valores extremos y desigualdades. 399.
*** 169. Media aritmética y geométrica de dos cantidades positivas. 170.Generalización para n variables. 171. El método de los cuadrados mínimos.
** § 7. Existencia de un extremo. Principio de Dirichlet. 404.
*** 172. Observaciones generales. 173. Ejemplos. 174. Problemas extremos elementales. 175. Dificultades en casos más complicados.
** § 8. El problema de los isoperímetros. 411.
*** 176. La solución de Steiner.
** § 9. Problemas extremales con condiciones de contorno. Conexiones entre el problema de Steiner y el de los isoperímetros. 415.
*** 177. Conexión.
** §.10 El cálculo de variaciones. 418.
*** 178. Introducción. 179. El Cálculo de Variaciones. El principio de Fermat en óptica. 180. El método de Bernoulli para resolver el problema de los isoperímetros. 181. Geodésicas en una esfera. Geodésicas y Maxi-mínimos.
** §11. Solución experimental de los problemas de mínimo. Experimentos con películas. 425,.
*** 182. Introducción. 183. Experimentos con soluciones líquidas. 184. Nuevos experimentos sobre el problema de Plateau. 185. Solución experimental de otros problemas matemáticos.
* Capítulo VIII: El calculo infinitesimal. 439.
** 186. Introducción. 439.
** § 1. La integral. 441.
*** 187. El área como límite. 188. La integral. 189. Observaciones generales sobre el concepto de integral. Definición general. 190. Ejemplos de integración. Integración de x<sup>n</sup>. 191. Reglas del "cálculo integral".
** §2. La derivada. 458.
*** 192. La derivada coma pendiente. 193. La derivada como un límite. 194. Ejemplos. 195. Derivadas de las funciones trigonométricas. 196. Derivación y continuidad. 197. La derivada y la velocidad. La segunda derivada y la aceleración. 198. Significado geométrico de la segunda derivada. 199. Máximos y mínimos.
** §3. Técnica de la derivación. 472.
*** 200. Reglas generales. 201. Derivación de las funciones compuestas.
** §4. Leibniz y los "infinitamente pequeños". 479.
*** 202. La notación de Leibniz.
** §5. El teorema fundamental del cálculo. 482.
*** 203. El teorema fundamental. 204. Primeras aplicaciones. Integración de x<sup>r</sup>, cos x, sen x, tg x. 205. La fórmula de Leibniz para π.
** §6. La función exponencial y la logarítmica. 489.
*** 206. Definición y propiedades del logaritmo. El número e de Euler. 207. La función exponencial. 208. Fórmulas para la diferenciación de e<sup>x</sup>, a<sup>x</sup>, x<sup>s</sup>. 209. Expresiones explícitas para e, e<sup>x</sup> y log x. 210. Serie logarítmica. Cálculo numérico.
** §7. Ecuaciones diferenciales. 501.
*** 211. Definición. 212. La ecuación diferencial de la función exponencial. La desintegración radioactiva. La ley del crecimiento. Interés compuesto. 213. Otros ejemplos. Vibraciones. 214. Las leyes de la dinámica de Newton.
* Suplemento al Capítulo VIII:. 509.
** §1. Cuestiones de principio. 509.
*** 215. Derivabilidad. 216. La integral. 217. Otras aplicaciones del concepto de integral. Trabajo. Longitud.
** §2. Ordenes de crecimiento. 516.
*** 218. La función exponencial y las potencias de x. 219. Orden de crecimiento de log(n!).
** §3. Series y productos infinitos. 520.
*** 220. Series y funciones. 221. La fórmula de Euler, cos x + i sen x = e<sup>tx</sup>. 222. La serie armónica y la función ζ. Desarrollo del seno en producto infinito, según Euler.
** §4. Obtención del teorema de distribución de los números primos mediante métodos estadísticos. 530.
*** 223. Consideraciones generales.
* Apéndice: Observaciones complementarias. Problemas y ejercicios. 535.
** Aritmética y álgebra. 535.
** Geometría analítica. 537.
** Construcciones geométricas. 544.
** Geometría proyectiva. Geometría no euclídea. 545.