Diferencia entre revisiones de «Cómo trazar una elipse»

Revisión del 12:56 2 nov 2011

Cómo trazar una elipse describe una técnica simple para trazar una elipse de dimensiones prefijadas. Por su simplicidad puede usarse para hacer el marco de una fotografía, el tablero de una mesa o el trazado de un cantero de forma elipsoidal en jardinería (campo en que el método es conocido desde hace mucho tiempo). La técnica ilustra también que la definición de una curva como lugar geométrico facilita el desarrollo de un método práctico de trazado sin hacer uso de coordenadas cartesianas —la manera usual, pero más compleja.

El problema

Figura 1. Dimensiones y parámetros de una elipse.

El problema práctico aparece al querer trazar "óvalos", como los bordes de un portarretratos, donde las dimensiones requeridas son la altura v (la mayor dimensión en el caso de un retrato) y el ancho h (la menor, véase la Figura 1). Los óvalos, especie de circunferencias achatadas, no son curvas matemáticamente bien definidas, ya que hay varias con este rasgo que no pueden diferenciarse unas de otras a simple vista. Aunque esta indeterminación no tiene importancia para el lego en Matemática, el desarrollo de una técnica de trazado requiere optar por una sola familia de curvas. Se eligen aquí las elipses, curvas que se obtiene al seccionar un cono con un plano y que también son las trayectorias que describen los planetas alrededor del sol.

Como se ilustra en la Figura 1, la forma de una elipse cualquiera queda completamente determinada por 2 longitudes diferentes denominadas sus semiejes. En la Figura 1 el semieje mayor es la longitud del segmento a y el semieje menor la del segmento b. Un rasgo característico de las elipses es que cuando sus 2 semiejes son iguales se obtiene una circunferencia. Se ve fácilmente en la figura que la altura v y el ancho h de la elipse valen

v = 2a, h = 2b. (Ecuación 1).

La Figura 1 contiene otros datos que serán necesarios para el trazado de la elipse cuando se caracterice la curva de manera matemáticamente precisa.

Elipse como lugar geométrico

Figura 2. La elipse como lugar geométrico.

El concepto matematico de lugar geométrico puede "traducirse" al lenguaje cotidiano como curva determinada por una condición. La definición matemática de una elipse como lugar geométrico se expresa así:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a 2 puntos fijos, sus focos, es constante.

En la Figura 2 se individualizan los focos con los símbolos F₁ y F₂ y las distancias del punto P a cada uno ellos. El concepto de foco tiene importantes aplicaciones científicas: por ejemplo, el sol está ubicado en uno de los foco de la elipse que traza la Tierra cuando gira a su alrededor. En la figura, la suma c de las distancias del punto P a los 2 focos es la siguiente suma de longitudes de segmentos:

F₁P + PF₂ = c. (Ecuación 2).

Esta suma tiene el mismo valor para cualquier punto P. Es decir, c es una longitud fija (una constante) característica de una elipse dada.

Esta definición de elipse permite su trazado de modo muy simple. La constancia de la longitud c se obtiene con un cordel no elástico: una gomilla no serviría ya que puede variar su longitud al estirarse y contraerse. La posición de los 2 focos se obtiene con clavos fijados a una madera o estacas fijadas al suelo, según el tipo de forma elíptica a construir. La curva se obtiene deslizando un trazador (lápiz, tiza, palo...) a lo largo del cordel, cuyos extremos deben estár fijos a un par de clavos o estacas (véase la Figura 3).

Solo resta ahora relacionar los 2 datos requeridos para este trazado: la longitud c del cordel y la distancia d entre los focos (clavos o estacas) con la altura v y el ancho h deseados para la elipse.

Relaciones entre v, h, c y d