El Usamos continamente el '''origen del concepto de número''' pese a que no podemos explicarlo bien ni definirlo con precisión. Sus aplicaciones prácticas exceden largamente nuestra comprensión y sin ellos no es matemáticoserían posibles ciencias exactas como la Física, ninguna de las ingenierías y la mayoría de las tecnologías, incluyendo a todas las industriales. La Economía tampoco sería viable sin ellos, sino al revésya que todas las transacciones comerciales se cuantifican con números en términos de unidades de valor de cambio como los pesos ($). La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y de se establecieron con rigor todas las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos(construcciones, cálculo de impuestos, comercio…), después como una disciplina independiente de sus aplicaciones—tema que no se discute aquí—. Sin embargo, la Matemática no explica el ''concepto de número'', sólo lo formaliza de modo de evitar errores y contradicciones en su uso, extendiéndolo más allá del concepto inicial de número natural (1, 2, 3.......), base del concepto más general de números reales que incluye a los racionales (fracciones), radicales (raíces de todo orden) y transcendentes como ''e'' y &pi; (pi). En este artículo se discute sólo el origen intuitivo del concepto de númeronatural, poniendo fundamento de todos los demás, tratando de poner en evidencia —con fines educativos— mayoritariamente docentes— dos de sus dos [[rasgo]]s fundamentales independientes: esenciales. El primero es la medida de la cantidad que en Matemática se denomina el ''cardinal y el ordinal'' de un conjunto de elementos. Aunque todavía hay polémicas sobre El segundo es el peso "grandor relativo" de los diferentes cardinales, cuándo uno es mayor (>) o menor (<) que debe darse a cada uno y otro; es decir, el problema de las relaciones numéricas de orden en que deben introducirse en . Durante el auladesarrollo se discute la independencia de estos dos rasgos, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación hecho de que uno de los instrumentos matemáticos del cálculoellos puede estar presente sin el otro.

==IntroducciónEnfoque de este artículo==Usamos continuamente el El concepto de númeropuede ser interpretado de modos muy diferentes según quienes lo analicen: psicólogos cognitivos, pero prestamos escasa matemáticos, docentes o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales personas comunes que lo fundamentansólo quieren estar mejor informadas sobre este concepto tan básico. La principal manera de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso de desarrollo cognitivo de los niños, como han hecho numerosos psicólogos (véase, Es por ejemplo, ello imprescindible discutir del modo más claro posible el trabajo de Brainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). El objetivo de enfoque elegido en este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales.

El concepto de número Los psicólogos cognitivos están interesados en la secuencia temporal en que se desarrolla después que el niño es capaz desarrollan las destrezas cognitivas de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decirlas personas, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellosen especial los niños. Es entonces cuando puede comprender la agrupación A partir de una o más instancias los trabajos pioneros del biólogo suizo [[constructivismo|Jean Piaget]] en las décadas de una misma categoría de objetos1930 y 1940 (véase, como piedrasespecialmente, monedas''Génesis del número en el niño''), perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de númeroha sido un continuo tema de investigación (véase, por ejemplo, concepto que incluye más características que el trabajo de la mera diversidad en cantidadBrainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). No Los desarrollos cognitivos son, a veces, incrementales, es decir, uno de ellos es que todos loss agrupados sean idénticosrequisito de otro. Por ejemplo, es sólo imposible hacer experimentos avanzados de cardinalidad —los que los sentidos y exceden las destrezas innatas del niño, véase el cerebro humano tienen ''subitando'' en la capacidad de percibir sección siguiente— con un bebé que no ha alcanzado todavía a discernir objetos individuales y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten a comprender su perdurabilidad en el tiempo (la agrupación ''conservación de los mismos en clases o categorías objetos'' de modo comunicable a otras personasPiaget). Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupacionesOtras veces, en Matemática llamados conjuntoscambio, de "piedritas", comos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otroses posible llegar al mismo concepto por vías diferentes. Es en este sentido Algunos experimentos sugieren que se usa aquí, en lo sucesivo, el proceso de formación del concepto de número el concepto de ''ordinal'ente'precede al de ''cardinal'' (caso de Brainerd), más general mientras otros indican que el de objeto que es un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones otras vías pueden estar en juego (caso de objetos Rips y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipocolaboradores).

Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes El concepto de número se desarrolla recién después que el niño es necesario identificar capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar: el cardinal categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y el ordinaldiferencias muy básicas entre ellos. La combinación Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de estos rasgosobjetos, como piedras, monedas, perros, y otros másárboles, con algunas operaciones personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que pueden hacerse con ellos, conducen al recién culminará en el concepto matemático de número natural, concepto que incluye más características que el más sencillo de la mera diversidad en cantidad. No es que todoslos objetos agrupados sean idénticos, ordenados es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en la secuencia creciente 1clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, 2dentro de un cierto rango de tamaño, 3se puede hablar de agrupaciones, 4… Esto conduce luegoen Matemática llamados conjuntos, de modo bastante similar"piedritas", a magnitudes como las longitudeselementos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, áreasen lo sucesivo, volúmenesel concepto de ''elemento'', pesos, cargas eléctricas y otrosmás general que el de ''objeto'' (cuerpo material con límites bien definidos). La importancia tecnológica razón de las magnitudes numéricamente cuantificadas estos requisitos es que permiten la formulación el concepto de leyes número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de fenómenos objetos y símbolos que son la base no corresponden a objetos materiales de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos másningun tipo.

Los matemáticos, por su parte, han fundamentado el concepto de número de dos modos completamente diferentes que no requieren el uno del otro si sólo se atiende al rigor de los procedimientos. El primero de estos modos, introducido en 1884 por el matemático alemán Gottlob Frege, corresponde básicamente al esbozado en la sección siguiente para la determinación del cardinal de un conjunto en base a biyecciones. El segundo —basado en el concepto de orden y en grandes líneas coincidente la la discusión de la sección sobre ese tema— fue introducido por el italiano Giuseppe Peano en 1894, como el siguiente conjunto de cinco axiomas: # 1 es un número natural.# Cualquier número que es el resultado de sumarle 1 a un número natural (su número siguiente), es también un número natural.# No hay dos números naturales diferentes que tengan el mismo número siguiente.# El número 1 no es el siguiente de ningún número natural.# La serie de los números naturales incluye al número 1 y a los siguientes de todos los números naturales. Cualquiera de las dos maneras de introducirlos es suficiente para fundamentar las operaciones con números naturales de modo tal que no conduzca a error o contradicción. Esta forma de dar origen a los números no tiene nada que ver con el origen cognitivo del concepto y su secuencia temporal de adquisición por una persona típica de alguna clase social de alguna cultura del planeta (proceso ''situado''). Es nada más y nada menos que un requisito para asegurar que no habrá violaciones de la Lógica Matemática, tema completamente diferente. Los niños no ingresan a la escuela en la etapa inicial de su desarrollo cognitivo, sino en una en que los conceptos y operaciones que aquí se describen ya se han alcanzado y practicado, aunque por regla general con muy diferentes grados de refinamiento por una diferente intensidad de práctica. Entre los objetivos del docente no se cuentan el de investigar etapas de evolución cognitiva ni grados de rigor lógico de los conceptos que fundamentan las operaciones aritméticas. El objetivo es lograr que los niños las incorporen del modo más rápido posible y las lleven a cabo con el mínimo de errores posibles, poniendo a su alcance métodos simples de verificación de la corrección de sus resultados. La secuencia conceptual que aquí se presenta, puesta en práctica con didácticas adecuadas, puede ser un medio [[eficiencia|eficiente]] para el logro de este objetivo, aunque probablemente no sea el único viable. Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciar: el cardinal y el ordinal. La combinación de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a la cuantificación de magnitudes como longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más. El objetivo de este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales. En lo que sigue se discuten los rasgos cardinal y ordinalde los números, así como base de las operaciones más básicas que se pueden hacer con los números naturales: sumarlos y restarlos. En todos los casos se usará el término ''enteelemento'' para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similares. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de elementos, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente se usarán deben usarse sólo agrupaciones de elementos idénticos, sólo en dejando para una etapa más avanzada es viable formarlas su constitución con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas elementos para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y restade magnitudes físicas, donde los elementos deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicaspertenecer a la misma categoría por la misma razón que no se pueden sumar peras a zapatos.

==Orden Desde el punto de los elementos de un conjunto==vista matemático el cardinal tiene dos fundamentos esenciales:# El '''origen del concepto de númerocorrespondencia uno a uno entre elementos (''biyección' no es matemático, sino al revés. La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el ');# El concepto de número y de las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos, después como una disciplina independiente igualdad de sus aplicacionescorrespondencias. En este artículo el ejemplo dado, se discute requiere la igualdad —mediada por el origen intuitivo del concepto cardinal de los porotos de número, poniendo en evidencia —con fines educativos— sus dos [[rasgo]]s fundamentales independientes: la bolsa derecha— entre el cardinal del conjunto de jefes de familia y el ordinal. Aunque todavía hay polémicas sobre el peso que debe darse a cada uno y el orden en que deben introducirse en el aula, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación del conjunto de los instrumentos matemáticos del cálculoregalos.

==IntroducciónOrden de los elementos de un conjunto==Usamos continuamente El concepto de cardinal no basta para establecer el concepto de número, pero prestamos escasa o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales que lo fundamentan. La principal manera mente humana sólo tiene la capacidad de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso reconocer de desarrollo cognitivo modo instantáneo, sin contar de modo sucesivo, los niñoscardinales 1, como han hecho numerosos psicólogos (véase2, por ejemplo3 y 4, el trabajo de Brainerd facultad que en inglés se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Subitize ''subitizing''] y las críticas que le hicieron otros investigadoresaquí denominaremos ''subitando''. Para determinar la cardinalidad de grupos más grandes tenemos tener un conjunto de referencia de todos los diferentes cardinales (método poco práctico). El objetivo o numerar sus elementos de este artículo no modo sucesivo, es decir, contarlos. Es necesario, por ello, analizar detalladamente la evolución histórica del estudio del concepto relación de número, ni orden implícita en Psicología ni en Matemática, sino establecer un recuento de cualquier tipo de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordialeselementos.

El Para no introducir los números en una discusión previa a este concepto de número se desarrolla después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellos. Es entonces cuando puede comprender la agrupación bautizaremos a los cardinales de una o más instancias de una misma categoría de objetos1 a 4 con ''u'', como piedras''d'', monedas''t'' u ''c'' (los nombres podrían haber sido otros, perros, árboles, personasno es importante)... Éste es el primer paso de Se puede hacer lo mismo con la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático cardinalidad de número, concepto que incluye los conjuntos más características que el de la mera diversidad en cantidad. No es que todos los entes agrupados sean idénticosfrecuentemente útiles, es sólo que como los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten caracterizan la agrupación cantidad de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Asíhijos, dentro de un cierto rango de tamañocabritos, se puede hablar de agrupaciones, en Matemática llamados conjuntoscacerolas, de "piedritas", como entes intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados flechas… La figura inferior ilustra ésto para sólo unos de otros. Es en este sentido que se usa aquípocos, en lo sucesivoordenados al azar, el concepto de '''ente''', más general que el de objeto que es un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos ya que todavía no corresponden a objetos materiales de ningun tipohay criterio para hacerlo.

Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciarArchivo: el cardinal y el ordinalCardinal grupos botones. La combinación jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Los cardinales de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto algunos grupos de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a magnitudes como las longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos másbotones.'''</center></small>]]

En lo que sigue se discuten los rasgos Un cardinal y ordinalparticular, así como las operaciones más básicas caracterizado por un conjunto de referencia (unidad de medida), sólo permite identificar los conjuntos que se pueden hacer tienen la misma cantidad de elementos, aquellos con los números naturales: sumarlos y restarlosque se puede establecer una correspondencia de uno a uno (biyección). En todos los casos se usará el término No basta, entonces, para lo que habitualmente denominamos ''entemedir'' , para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similareslo que se requiere es saber cuál conjunto tiene más (o menos) elementos. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones Veamos cómo se define de entes, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en modo operativo la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente se usarán sólo agrupaciones relación de entes idénticos, sólo en una etapa avanzada es viable formarlas con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y resta, donde los entes deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicasmayor o menor.

==Cardinal El cardinal de un conjunto==Para facilitar es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática,una ''cota superior'') para la comprensión del tema cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se introduce el concepto puede construir otro de mayor cardinalidad con el ejemplo siguienteagregándole elementos.

El jefe cardinal de una tribu decide invitar a todos los jefes un conjunto es menor que el de familia a una reunión donde otro si se discutirán temas comunes de gran importanciapuede obtener quitándole al último uno o más elementos. Para asegurar la buena voluntad Así, los cardinales de todos ''u'', ''d'' y no despertar la enemistad ''t'' son menores que el cardinal de nadie''c'', quiere hacer porque se obtienen quitando elementos a todos y cada uno de ellos un regalo idéntico éste. Del mismo modo podemos determinar que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar, ''u'' y ''d'' son menores que el de modo ''t'' y ''c'', y que el jefe no sabe como asegurarse de ''u'' es menor que la cantidad el de regalos será la justa''d'', ''t'' y ''c''. Aquí aparece un hecho nuevo e importante. No hay agrupación de modo elementos con cardinal menor que el de ''u'', porque si le quito a éste su único elemento no saltearse a nadie ni preparar regalos sin destinatariotengo ninguna agrupación. Cuando plantea Esta restricción histórica inicial fue posteriormente eliminada de la matemática extrendiendo el problema nombre de conjunto también a sus consejerosuna agrupación sin ningún elemento, cuya cardinalidad (el más viejo y sabio de todos —su primer consejero cero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él 0) no se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manosdiscutirá aquí.

Para llevar La siguiente etapa corresponde a cabo su tarea el primer consejero se provee otra capacidad intrínseca de bolsos sin agujeros que cuelga los seres humanos (aunque también de algunos primates, como los chimpancés): la simbolización. En este caso corresponde al reemplazo de cada uno :* las agrupaciones de objetos por sus hombros. El de representaciones (en papel o en la izquierda está completamente lleno pantalla de porotos desecadosuna computadora, por ejemplo, fáciles como en la Figura 2);* los conjuntos de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitarreferencia o sus representaciones, uno por unosus nombres, a los jefes de todas caso en que recién cobran sentido las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada denominaciones 1 (en vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda ''u''), 2 (''d''), 3 (''t''), 4 (''c'') y lo coloca en la derecha. Cuando termina así siguiendo;* de ver a todos lleva la bolsa izquierda a la encargada de confeccionar los regaloslas operaciones con conjuntos por sus representaciones o por sus símbolos, indicándole que debe hacer tantos como porotos hay en interiorla Figura 2.

El primer consejero no necesitó saber contarNo se necesita ahora tener conjuntos de referencia, ni siquiera necesitó basta tener un nombre para designar los símbolos que los representan y memorizar su orden. Se llega recién entonces a la cantidad operación de porotos contar, que juntó en la bolsa izquierda. Lo único que tuvo que hacer corresponder primera etapa, por ejemplo, va acompañada del trazado de palitos con lápiz sobre un poroto y sólo uno a cada jefe papel o de agrupación de pequeños objetos sobre la mesa de trabajo (granitos de familiaarroz, destreza natural en todas las personas adultas normalespiedritas…). Lo mismo hizo Éste es el comienzo de la encargada Aritmética, ya que su tomamos una agrupación de los regalos, haciendo un regalo granitos de arroz con cardinalidad 3 y sólo uno por cada poroto que le entregaron.la agregamos a otra con cardinalidad 4 obtenemos una nueva agrupación con 7 granitos: es decir:

La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina [http://es.wikipedia<center>3 + 4 = 7.org/wiki</Biyección ''biyección'']—establece la igualdad de la cardinalidad de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que la cardinalidad no es un rasgo propio de un conjunto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala ya que los números no son objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanas.center>

==Orden O a la inversa, si sacamos 3 granitos de los entes de un conjunto==la última, obtenemos

* {{:ISBN 9780465037711}}. El capítulo 1 cita numerosas evidencias sobre las habilidades numéricas de los niños, incluyendo el ''subitando'' (pp.&nbsp;15&#8209;26). El capítulo 3 discute las [[metáfora]]s básicas que subyacen la construcción de las operaciones aritméticas con números enteros y racionales.* Piaget, Jean; ''Génesis del número en el niño''; Edit. Guadalupe; Ciudad de Buenos Aires; 1967. Una breve síntesis del contenido del libro, con muchas referencias adicionales, puede encontrarse en John Flavell, ''La psicología evolutiva de Jean Piaget'', Edit. Paidós, Barcelona (España), 1982, ISBN 8475091083, pp.&nbsp;330&#8209;336.* Rips, Lance J. & Bloomfield, Amber & Asmuth, Jennifer; ''From numerical concepts to concepts of number''; revista Behavioral and Bran Sciences, vol.&nbsp;31; EEUU; 2008; pp.&nbsp;623687; doi:10.1017/S01 405525X08005566. El artículo contiene numerosas referencias así como adhesiones y refutaciones a los experimentos citados.