El concepto de cardinal no basta para establecer el concepto de número. La mente humana sólo tiene la capacidad de reconocer de modo instantáneo, sin contar de modo sucesivo, los cardinales 1, 2, 3 y 4, facultad que en inglés se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Subitize ''subitizing''], que puede traducirse como ''conteo súbito''. Algunos científicos consideran que podría ser considerado un sentido más, también presente en algunos primates superiores, al que denominan ''numerosity'' (''numerosidad'')[http://www.livescience.com/39441-is-numerosity-humans-sixth-sense.html?cmpid=532500]. Para determinar la cardinalidad de grupos más grandes debemos tener un conjunto de referencia de todos los diferentes cardinales (método poco práctico) o numerar sus elementos de modo sucesivo, es decir, contarlos. Es necesario, por ello, analizar detalladamente la relación de orden implícita en un recuento de cualquier tipo de elementos.
Para no introducir los símbolos numéricos en una discusión previa a este concepto, bautizaremos a los cardinales de 1 a 4 con ''u'', ''d'', ''t'' y ''c'' (los nombres podrían haber sido otros, no es importante). Se puede hacer lo mismo con la cardinalidad de los conjuntos más frecuentemente útiles, como los que caracterizan la cantidad de hijos, de cabritos, de cacerolas, de flechas… La Figura 1 ilustra ésto para sólo unos pocos, estos conjuntos ordenados al azar, ya que todavía no hay todavía un criterio para hacerlo.
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Un cardinal particular, caracterizado por un conjunto de referencia (concepto similar al de unidad de medida), sólo permite identificar los conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, aquellos con los que se puede establecer una correspondencia de uno a uno (biyección). No basta, entonces, para lo que habitualmente denominamos ''medir'', para lo que se requiere es saber cuál conjunto tiene más (o menos) elementos, tiene un cardinal mayor (o menor) que el de otro. Veamos cómo se define definen de modo operativo la relación las relaciones de mayor o y menor.
El cardinal de un conjunto es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos verificar que los cardinales ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática, una ''cota superior'') para la cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se puede construir otro de mayor cardinalidad agregándole elementos, hecho que es la base de la introducción del concepto de infinito (simbolizado en Matemática con ∞).
Un error común de los docentes que enseñan el concepto es usar figuras idénticas con ordenamientos geométricos regulares. Por ejemplo, círculos del mismo tamaño y color, alineados y espaciados de modo regular. Los estudios cognitivos muestran que en la primera etapa de adquisición del concepto cardinal de número los niños lo asocian con todos los rasgos comunes entre los diferentes conjuntos. Es imprescindible, por ello, ir descartando progresivamente rasgos comunes hasta que, como se hizo en la Figura 2, sólo quede uno que establezca una categoría bien definida. En la Figura 2 el rasgo común es el de forma circular, pero podría haber sido el de tamaño o el de color (¿se le ocurre algún otro utilizable en el aula?).
No se necesita ahora tener conjuntos de referencia, basta tener los símbolos que los representan y memorizar su orden. Se llega recién entonces a la operación de contar, que en la primera etapa, por ejemplo, va acompañada del trazado de palitos con lápiz sobre un papel o de agrupación de pequeños objetos sobre la mesa de trabajo (granitos de arroz, piedritas…). Éste es el comienzo de la Aritmética, ya que su si tomamos una agrupación de granitos de arroz con cardinalidad 3 y la agregamos a otra con cardinalidad 4 obtenemos una nueva agrupación con 7 granitos: es decir: