Diferencia entre revisiones de «Cómo armar poliedros»

Revisión del 13:02 20 feb 2012

Figura 1. Pantalla de lámpara con estructura de
rombicuboctaedro hecha con esquineros.

La construcción de poliedros desarmables hechos de varillas y esquineros es una técnica que tiene al menos 2 funciones importantes. La primera es facilitar la asimilación del importante concepto abstracto de estructura mediante su realización concreta en el caso geométrico de los poliedros, donde los elementos son las aristas (varillas) y las relaciones son los ángulos entre aristas (determinados por los ojales de los esquineros que las sujetan) y las distancias entre vértices (dados por la longitud de las varillas). La segunda aplicación es permitir al docente disponer de conjuntos de cuerpos fácilmente transportables sin el riesgo de rotura de los hechos de otros modos. Se explican aquí todos los pasos a seguir para la construcción de cualquier poliedro —regular o no, convexo o no— y se dan sugerencias sobre materiales que pueden usarse en la tarea, incluyendo algunos reciclados. Se dan los esquineros que permiten la construcción de los 5 sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) y de algunos de los bellos poliedros arquimedianos, como el ilustrado en la Figura 1. En estas categorías de poliedros, para los cuales los esquineros son todos similares y las varillas tienen todas la misma longitud, se obtiene al mismo tiempo una prueba constructiva de que están unívocamente determinados por los ángulos poliedros y la longitud de arista, concepto geométrico de gran valor práctico.

Materiales, útiles, técnicas e información requeridas

• Materiales
  • esquineros: envases TetraPak® reciclados o tapas de fotocopias anilladas en desuso o cartulina gruesa preferentemente plastificada.
  • aristas: varillas para brochettes de buena calidad o varillas de madera torneada.
  • adhesivo en barra.
• Útiles
  • calibre;
  • tijera;
  • trincheta ("cúter");
  • sacabocados del diámetro (holgado) de las varillas a usar;
  • abrochadora.
• Información
  • patrones de los esquineros requeridos para el poliedro a construir.
• Técnicas
  • corte con trincheta ("cúter");
  • troquelado con sacabocado;
  • abrochado con abrochadora;
  • medición de diámetros de varillas con calibre;
  • medición de ángulos con transportador (sólo para hacer patrones no provistos aquí).

Método de construcción

Figura 2. Icosaedro truncado
hecho con el método aquí descripto.

El método de construcción es la unión de varillas de madera (las aristas del poliedro) con esquineros que las sujetan para formar el ángulo poliedro en cada vértice. Conviene usar palitos de brochette como varillas, que tienen usualmente unos 4 mm de diámetro y 24 cm de longitud y son de bajo costo y gran dureza. Sin embargo, no cualquier tipo es apropiado y debe verificarse que su superficie sea lisa y que sus diámetros sean uniformes. Pueden usarse varillas de madera torneada, pero son mucho más caras y usualmente menos resistentes. Los palitos deben recortarse del largo apropiado al tamaño final del cuerpo que se quiere construir, el valor del diámetro de la esfera D que circunscribe los sólidos regulares y semirregulares. Pueden usarse enteros para los poliedros regulares y partidos por la mitad para los arquimedianos, donde podrían obtenerse cuerpos demasiado grandes y pesados.

Los esquineros delimitan los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que deben ser capaces de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez) y sostener sin desgarrarse las varillas que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es el laminado usado en los envases TetraPak&reg. Es más resistente y de mejor presentación el material de con que se hacen las tapas de documentos fotocopiados y anillados. Las tapas de cuadernos, otro material reciclable, suelen ser demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general.

Las estructuras construidas de esta manera, aunque sólo soportan su propio peso, permiten obtener formas muy variadas con mínimo gasto en materiales. Se requiere, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los esquineros apropiados para cada vértice, cortar las varillas a la longitud apropiada y aguzarlas para facilitar su colocación.

En los poliedros convexos regulares y arquimedianos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de 3 a 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno de una cara es 60° (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en un vértice es 3 (de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (las suma de los ángulos internos de las caras en el vértice común debe ser menor de 360°).

Figura 3.Patrón genérico de esquinero para un triedro.

En todos los casos los ángulos entre aristas están dados por los ángulos internos de las caras (polígonos regulares) que confluyen en el vértice. El patrón general de un esquinero con tres aristas (triedro) es el de la Figura 3. La zona más oscura es la pestaña para fijar el borde opuesto por superposición y abrochado. Los cortes deben efectuarse por las líneas continuas con tijera (los bordes) y sacabocados (los círculos). Los dobleces se hacen por las líneas de trazos. Los ángulos α, β y γ = γ₁ + γ₂ son los internos de los polígonos que tienen por vértice común el centro del esquinero; donde lo más simple es tomar γγ₁ = γ2 = γ/2. Es fácil diseñar un esquinero para cualquier vértice, trátese o no de un poliedro, teniendo en cuenta que deben haber tantos dobleces como varillas se tocan en el vértice. Por ejemplo, el esquinero correspondiente a un cubo tiene los siguientes ángulos:

α = β = γ = 90°, γ₁ = γ₂ = 45°

y 3 dobleces. Aunque los ejemplos serán para poliedros regulares o arquimedianos, el método permite construir cualquier.

Los esquineros deben estar hechos de material delgado (para que sea fácil insertar las varillas) y resistente (para que soporten manipulación frecuente). Al doblar levemente la esquina señalada con un punto en la Figura 3 (ángulo γ₂), sirve de tope para sujetar el borde cuando se lo abrocha con la otra mano de modo que tape exactamente la pestaña. Se puede reforzar esta unión usando cemento de contacto o resina epoxi, pero no es imprescindible hacerlo.

Las aberturas circulares se troquelan de diámetro levemente superior al de las varillas, las que harán pasar a través de ellas como se muestra en la Figura 4. Un problema frecuente es que los palitos de brochette suelen venir de varios diámetros diferentes, aún en un mismo paquete; use todos de un sólo diámetro, el que usó para el troquelado. Un sacabocados permite hacer los troquelados rápidamente y con poco esfuerzo. Como guía para todos los cortes y dobleces se usan fotocopias del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido (no use otro, pues se busca poca adherencia) sobre la cara menos linda de la lámina. Una vez finalizados los cortes y hechos los dobleces (que conviene planchar con algún objeto suave, como el cuerpo de una lapicera), el papel puede sacarse facilmente de la superficie plastificada, humedeciendo el papel cuando sea necesario. Para obtener con facilidad los patrones necesarios, haga una fotocopia con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar. Al final de esta guía encontrará algunos ejemplo. La fotografía de la Figura 4 muestra ambas caras de un esquinero (con una sola varilla pasada, para mayor claridad). La parte izquierda es una vista interior (lado cóncavo) y la derecha una exterior (lado convexo). La Figura 5 es la fotografía de un icosaedro truncado (estructura de la pelota de fútbol olímpica) armada con varillas de brochettes de 12 cm de largo, lo que le da un diámetro final aproximado de 55 cm.

Poliedros regulares y semirregulares

Las caras de los deltaedros, poliedros convexos, son todos polígonos regulares idénticos (triángulos equiláteros) pero no cumplen la condición de congruencia de los ángulos poliedros que determinan las aristas que confluyen en todos y cada uno de los vértices.

Fuentes

La técnica aquí descripta fue desarrollada por Carlos E. Solivérez para los cursos de Tecnología del Instituto de Formación Docente de San Carlos de Bariloche, entre los años 2000 y 2004.