[[Archivo:Rombicuboctaedro de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 1. Pantalla de lámpara con estructura de<br> rombicuboctaedro hecha con esquineros.'''</center></small>]]
Se explica aquí '''cómo armar poliedros''' con varillas y esquineros, [[técnica]] que tiene al menos 2 funciones importantes. La primera es facilitar la asimilación del importante concepto abstracto de [[estructura]] mediante su realización concreta en el caso geométrico de los poliedros, donde los elementos son las aristas (varillas) y las relaciones son los ángulos entre aristas (determinados por los ojales de los esquineros que las sujetan) y las distancias entre vértices (dados por la longitud de las varillas). La segunda aplicación es permitir al docente disponer de conjuntos de cuerpos fácilmente transportables sin el riesgo de rotura de los hechos de otros modos. Se explican aquí todos los pasos a seguir para la construcción de cualquier poliedro —regular —regular o no, convexo o no— no— y se dan sugerencias sobre materiales que pueden usarse en la tarea, incluyendo algunos reciclados. Se dan los esquineros que permiten la construcción de los 5 sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) y de algunos de los bellos [[poliedros arquimedianosarquimedeanos]], como el ilustrado en la Figura 1. En estas categorías de poliedros, para los cuales los esquineros son todos similares y las varillas tienen todas la misma longitud, se obtiene al mismo tiempo una prueba constructiva de que están unívocamente determinados por los ángulos poliedros y la longitud de arista, conceptos geométricos de valor práctico.
** esquineros: envases TetraPak® reciclados o tapas de fotocopias anilladas en desuso o cartulina semigruesa plastificada.
** aristas: varillas para brochettes de buena calidad o varillas de madera torneada.
** adhesivo en barra** 1 hoja de papel de lija Nº 120.
* [[Útiles básicos|Útiles]]
** calibre;
** tijera;
** trincheta;
** sacabocados del diámetro (holgado) de las varillas a usar;
** abrochadorachica.
* Información
** propiedades geométricas del poliedros a armar: Nº de vértices y aristas, ángulos poliedros en cada vértice;
** patrones de los esquineros requeridos.
* Técnicas
** corte con trincheta;
** troquelado con sacabocados;
** abrochado con abrochadora;
==Método y recomendaciones de construcción y recomendaciones==El método de construcción es la unión de varillas de madera (las aristas del poliedro) con esquineros que las sujetan para formar el ángulo poliedro correcto en cada vértice. Para las varillas conviene usar palitos de brochette, que tienen usualmente unos 4 mm de diámetro y 24 cm de longitud y son de bajo costo y gran dureza, aunque a veces se rajan. Las de baja calidad no son recomendables porque suelen ser torcidas, de superficie rugosa y de diámetros no uniformes. Si las usa, tenga cuidado de seleccionar sólo las bien rectas y del mismo diámetro, ya que el mismo es crítico para el buen funcionamiento de los esquineros. Pueden usarse varillas de madera torneada, usualmente disponibles en comercios de productos de madera, que no tienen estos problemas pero son mucho más caras y usualmente menos resistentes.
Las varillas deben recortarse del largo de una longitud ''a'' apropiado apropiada al tamaño final del cuerpo que se quiere construir. Para los sólidos regulares y semirregulares este largo puede obtenerse a partir del valor del diámetro de la esfera ''D'' que los circunscribe, valor dado en la Tabla 1 y la del artículo [[poliedros arquimedeanos]]. Por ejemplo, si se quiere construir la estructura de una pelota clásica de fútbol ([[poliedros arquimedianosarquimedeanos|icosaedro truncado]]) de un tamaño comparable a la verdadera (unos 22 cm) el valor es ''D''=5''a''. Esto da para ''a'' un valor de unos 4,8 cm. La de la Figura 4 5 se construyó con varillas de 2312 cm, resultando de una un diámetro final de 157,155 mcm.
Los esquineros delimitan los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que deben ser capaces de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez) , así como sostener con firmeza y sostener sin desgarrarse las varillas que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es el laminado usado en los envases TetraPak®. Es más resistente y de mejor presentación el material con que se hacen las tapas de documentos fotocopiados y anillados. Las tapas de cuaderno, otro material reciclable, suelen ser demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general.
En los poliedros convexos regulares y arquimedianos arquimedeanos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de por lo menos 3 y no más de 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno de una cara es 60° (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en un vértice es 3 (de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (la suma de los ángulos internos de las caras en el vértice común debe ser menor de 360°).
[[Archivo:Esquinero generico.jpg|200px|right|thumb|<small><center>'''Figura 2. Patrón genérico de esquinero para un triedro.'''</center></small>]]
En cada vértice los ángulos entre aristas son los ángulos internos de las caras (polígonos regulares) que confluyen concurren allí. El patrón general de un esquinero con tres aristas (triedro) es el de la Figura 2, fácilmente extensible a los de 4 y 5 aristas. La zona más oscura es la pestaña que permite fijar el borde opuesto por superposición y abrochado; es decir, debe quedar exactamente cubierta por el borde opuesto de la abertura. Los cortes deben efectuarse por las líneas continuas : con tijera (por los bordes) externos y con sacabocados para los ojales (los círculosblancos)por donde pasan las varillas. Se facilita el abrochado de la pestaña si se dobla levemente la esquina contigua a la pestaña señalada con un punto en la Figura 2. Éste sirve de tope para sujetar el al borde que se superpone cuando se lo abrocha con la otra mano de modo para que tape exactamente la pestaña. Si el material ha sido bien elegido y el abrochado es bien hecho, no es necesario reforzar esta unión usando . Cuando sea indispensable hacerlo, use cemento de contacto o cola vinílica; la resina epoxi o el cianoacrilato no tienen buena adhesión en los materiales propuestos.
Los dobleces, marcados con líneas de trazos, corresponden a la posición de las varillas. Los ángulos alfa (α), beta (β ) y gama (γ) de la Figura 2, donde :γ = γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>, son los ángulos internos de los 3 polígonos que tienen por vértice común el centro del esquinero (3, 4 o 5 en el caso general). Lo más efectivo y simple es elegir
son los internos de los 3 polígonos que tienen por vértice común el centro del esquinero (3, 4 o 5 en el caso general). Lo más efectivo y simple es tomar
:γ<sub>1</sub> = γ<sub>2</sub>= γ/2.
Ésto no siempre es posible, como en la estructura de la Figura 4, caso en que debe usarse esta libertad de elección. En base a las consideraciones anteriores similares es fácil diseñar un esquinero para cualquier vértice, trátese o no de un poliedro convexo o regular, teniendo en cuenta que deben haber tantos dobleces y pares de ojales como aristas convergen en el vértice. Si la cara es un polígono regular de ''n'' lados, sus ángulos internos son todos iguales y valen α = (''n'' – 2)·180°/''n''. Por ejemplo, el esquinero correspondiente a un cubo (exaedrolas caras son cuadrados con ''n''=4) tiene los siguientes ángulos:
y hay tantos dobleces como aristas: , 3. Aunque los ejemplos dados más abajo adelante corresponden a poliedros regulares o arquimedianosarquimedeanos, ''mutatis mutandi'' (con las modificaciones que correspondan) el método permite construir los esquineros para cualquier poliedro. La Figura 4 muestra diferencia principal del caso general con los poliedros regulares y semirregulares es que en los últimos los esquineros son todos similares, mientras que en los primeros hay que hacer uno diferente para cada vértice. En la sección '''Esquineros selectos''' se dan los patrones correspondientes a todos los sólidos platónicos y algunos de los poliedros arquimedianosarquimedeanos. Allí Como guía para todos los cortes y dobleces se denominausan fotocopias del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido (no use otro, por simplicidadpues se busca poca adherencia) sobre la cara del material que no será visible cuando el poliedro esté terminado. Para obtener con [[eficiencia]] todos los necesarios, haga fotocopias con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar, "farol" cantidad igual al rombicuboctaedro y "pelota" al icosaedro truncadonúmero de vértices del poliedro. En la siguiente sección se da una técnica para lograr ésto eficientemente.
[[Archivo:Esquineros con varillas.jpg|left|thumb|<small><center>'''Figura 3. Varilla insertada en esquinero.'''</center></small>]]
Un problema frecuente Los ojales circulares, por donde se pasarán las varillas del modo ilustrado en la Figura 3, deben troquelarse con los palitos un sacabocados de diámetro levemente superior al de brochette —especialmente las varillas. Pruebe con los más baratos— es que en un mismo paquete suelen tener varios diámetros diferentes. Seleccione y use sólo esquinero armado, si cuesta mucho introducir la varilla, aumente el diámetro de los de un mismo diámetroagujeros a la medida siguiente, verificando que debe usar para hacer las plantillas o patrones no se suelte. La razón principal por la que servirán de guía para el corte material del esquinero no debe ser demasiado grueso es facilitar la formación en su interior de los esquinerosla presilla que sujeta a la varilla. Como guía para todos los cortes y dobleces Esto se usan fotocopias ilustra en dicha figura, donde la fotografía de la izquierda muestra la parte interior del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido esquinero (no use otro, pues se busca poca adherenciacara cóncava) sobre y la derecha la exterior (cara menos linda de convexa). De este modo las varillas concurren en el vértice por la láminaparte interior del esquinero. Una vez finalizados los cortes y hechos La mayor deformación se localiza en los dobleces (que conviene planchar con algún objeto suaveojales, como donde el cuerpo riesgo de una lapicera), el papel puede sacarse facilmente de la superficie plastificada, humedeciendo el papel cuando sea necesariorotura es máximo. Para obtener con facilidad evitar esta rotura es que los patrones necesariosojales se hacen circulares en vez de cuadrados, haga una fotocopia con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar. Al final caso en que los desgarramientos de esta guía encontrará algunos ejemplossus esquinas serían frecuentes.
el que Una vez finalizados los cortes, debe usar para cortar eliminarse completamente de los ojales indicados esquineros el papel con círculos la Figura 2los patrones, humedeciéndolo si es necesario.Las aberturas circulares se troquelan de diámetro levemente superior Los ojales deben conformarse previamente al de las varillasarmado final, lo que puede hacerse con poco esfuerzo con un sacabocadosusando una varilla. Las varillas se hacen pasar Para terminar prolijamente esta tarea conviene "planchar" la zona contigua a través los ojales con algún objeto suave, como el cuerpo/tapa de ellas como se muestra en la Figura 4. El material del esquinero no debe ser demasiado grueso para poder formar en su interior la presilla que sujeta a la varilla. Esto se ilustra en esta figuraun bolígrafo o marcador, donde la fotografía de la izquierda muestra la parte interior modo de eliminar las inevitables arrugas del esquinero (cara cóncava) y la derecha la exterior (cara convexa)material. De este modo el doblez hecho por Se fijan entonces los esquineros con la línea abrochadora, cuidando de trazos soporta tapar exactamente la mayor parte de la varillapestaña, mientras que la mayor deformación se localiza en la pequeña parte de la presilla, donde el riesgo de rotura es máximodebe quedar del lado interior (cóncavo) del esquinero.
Una vez armados todos los esquineros (el orden es aquí indiferente y esta etapa podría ser anterior o hecha [[tareas en serie y en paralelo|en paralelo]], simultáneamente) hay que cortar, con trincheta, todas las varillas de la misma longitud y redondear sus extremos para facilitar la introducción. Conviene hacer ésto con ayuda de un sacapuntas (no hay que afilarlos, sólo redondear levemente los extremos) y retocar con un poco de papel de lija mediano, Nº 120 o similar. Se introducen luego ordenadamente las varillas en los esquineros, verificando con la imagen del poliedro la correcta formación de las caras. Los dos errores más comunes de esta etapa de armado final son de orientación del esquinero. Estos errores pueden suceder de 2 modos diferentes: cuando se orienta un esquinero hacia afuera de lo que será la estructura final, violando la condición de poliedro convexo; cuando, por ejemplo, en un icosaedro truncado se delimita una cara pentagonal con un ángulo interno que corresponde a una exagonal. Las estructuras construidas de esta manerapor este método, aunque sólo soportan su propio peso, permiten obtener brindan formas muy variadas con mínimo gasto en materiales. Se requiererequieren, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los esquineros apropiados para cada vérticey conformar bien las varillas. Cuando no se las usa, estas estructuras pueden desarmarse y guardarse ocupando un volumen muy reducido, cortar lo que es muy práctico. Sólo deben pegarse las varillas a los esquineros cuando se quiere una estructura permanente que no se deforme, lo que puede suceder cuando se las manipula con frecuencia. ==Impresión de patrones==Es fácil recortar los esquineros cuando se usa un patron de guía para cada uno. Para eso se necesitan tantos patrones como esquineros hay, es decir, como vértices tiene la estructura (véase la Tabla 1 para los poliedros regulares y algunos semirregulares). El número de fotocopias a hacer se disminuye drásticamente si se usa la siguiente técnica:* Se hace primero el patrón y luego se lo fotocopia (1 fotocopia hecha; 2 patrones).* Recortando el patrón copiado se lo pega sobre una hoja junto al original y separado de él unos 2 mm y se los fotocopia (2 fotocopias hechas; 4 patrones).* Se fotocopian luego 3 de los 4 patrones que ya se tienen, formando una línea, como en las 2 hojas al final del artículo (3 fotocopias; 7 ejemplares).* En la siguiente etapa se pueden fotocopiar 2 líneas completas y en la subsiguiente, 4, con lo que en la fotocopia subsiguiente se llega al límite del tamaño de la hoja (6 fotocopias; 25 patrones), ya que una hoja de formato legal (21,5 cm·35,6 cm), la longitud apropiada mayor de las fáciles de conseguir, puede contener 18 patrones. * De allí en más se fotocopian hojas completas, tantas como sean necesarias y algunas más para reemplazo en caso de error. La técnica es muy eficiente en disminuir el número de fotocopias. Para hacer los patrones de los 90 esquineros necesarios para la estructura de la pelota de fútbol, se requieren sólo 10 fotocopias sucesivas y sobran 7 patrones de reemplazo. Si se tiene una PC, un digitalizador y aguzarlas un programa de procesamiento de gráficos, se puede armar la hoja completa de patrones de una sola vez, lo cual reduce el número de fotocopias a hacer a sólo 6. Si, en cambio, se fotocopiaran sólo patrones individuales, habría que hacer 96 fotocopias para facilitar su colocaciónobtener la misma cantidad final.
==Poliedros regulares y semirregulares==
Las [[Archivo:Rueda gigante de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 4. Rueda gigante hecha con esquineros de TetraPak® con estructura de prisma recto octogonal.'''</center></small>]]Los cuerpos más fáciles de armar con esta técnica son aquellos cuyos angulos poliedros (los que forman las caras en cada vértice) son congruentes (superponibles por traslaciones, rotaciones y, eventualmente, reflexiones). Esto equivale a decir que los esquineros son todos idénticos, ya que pueden armarse con cualquiera de sus 2 superficies hacia el interior, lo que equivale a una reflexión. La condición de congruencia parece forzada, pero esto proviene de una pobre comprensión de lo que es un sólido regular o semirregular. Los sólidos platónicos son frecuentemente considerados como los únicos cuyas caras son polígonos regulares idénticos, lo que es falso, ya que a esa condición hay la de congruencia. Por ejemplo, hay 8 poliedros diferentes cuyas caras son todas triángulos equiláteros, denominados [http://es.wikipedia.org/wiki/Deltaedro deltaedros]. De ellos sólo 2 tienen todos sus ángulos poliedros congruentes: el tetraedro regular, poliedros convexosel octaedro regular y el icosaedro regular, los 3 sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros. De especial interés en la construcción de modelos a escala son los prismas rectos cuyas caras pueden o no ser polígonos regulares . Muchos de estos poliedros también tienen la propiedad de tener esquineros idénticos , como se ilustra con el caso de la rueda gigante de la Figura 4. Los esquineros del cubo (triángulos equiláterosvéase a pie de página) pero no cumplen permiten construir cubículos muy variados cuyas caras son rectángulos que pueden tener cualquier proporción deseada. En la condición tabla inferior se dan los datos necesarios para construir los esquineros de todos los sólidos platónicos y algunos de los arquimedeanos. Algunos de congruencia sus patrones se dan al pie de página, quedando los ángulos restantes como ejercicio para el lector. <br>{| align=center border=1 cellspacing=1 cellpadding=5 bgcolor= !Poliedro !!Imagen !! Vértices !!Aristas !!Angulos poliedros que determinan las aristas que confluyen en todos |-|tetraedro ||[[Archivo:Tetraedro transparente.jpg|center]] ||align=center|4 ||align=center|6 ||align=center|60°; 60°; 60°|-|cubo ||align=center|[[Archivo:Cubo transparente.jpg|center]] ||align=center|8 ||align=center|12 ||align=center|90°; 90°; 90°|-|octaedro ||align=center|[[Archivo:Octaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|6 ||align=center|12 ||align=center|60°; 60°; 60°; 60°|-|icosaedro ||align=center|[[Archivo:Icosaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center|30 ||align=center|60°; 60°; 60°; 60°; 60°|-|dodecaedro ||align=center|[[Archivo:Dodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|20 ||align=center|30 ||align=center|108°; 108°; 108°|-|cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center| 24||align=center|60°; 90°; 60°; 90°|-|rombicuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Rombicuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|48 ||align=center|60°; 90°; 90°; 90°|-|octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Octaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|36 ||align=center|90°; 120°; 120°|-|icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|30 ||align=center|60 ||align=center|60°; 108°; 60°; 108°|-|icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|60 ||align=center|90 ||align=center|108°; 120°; 120°|-|colspan=5 align=center|<small>'''Tabla 1. Datos de los sólidos platónicos y algunos arquimedeanos.'''</small>|}<br><!-- transparente. Dibujo y cada uno archivo de los vérticesC. E. Solivérez.
La Figura 3 es la fotografía de un icosaedro truncado (estructura de la pelota de fútbol olímpica) armada con varillas de brochettes de 12 cm de largo, lo que le da un diámetro final aproximado de 55 cm.
==Impresión de patrones==Es fácil recortar los esquineros cuando se usa un patron de guía para cada uno. Para eso se necesita fotocopiar tantos patrones como esquineros hay, es decir, como vértices tiene la estructura (ver la Tabla 2 para los poliedros regulares y algunos semirregulares). El número de fotocopias a hacer se disminuye drásticamente si se usa la siguiente técnica[[Categoría:Matemática]]* Se hace primero el patrón y luego se lo fotocopia (van 1 fotocopias y 2 ejemplares).* Recortando el patrón, se fotocopia el conjunto de dos patrones así armado (van 2 fotocopias y 4 ejemplares).* Se fotocopian luego los 4 ejemplares que ya se tienen, para obtener 8 (van 3 fotocopias y 8 ejemplares).* En cada etapa, al fotocopiar conjuntamente los patrones originales con sus fotocopias, se duplica el número de ejemplares. Esta duplicación es válida hasta el límite del tamaño de la hoja, que si es de formato legal (21,5 ·35,6 cm) puede contener unos 21 patrones. De allí en más se fotocopian hojas completas.Como se ve, la técnica es muy eficiente. Para hacer los patrones de los 90 esquineros que conforman la pelota de fútbol, se requieren solamente 7 fotocopias y sobran algunos de reemplazo (haga la cuenta, sumando todos los ejemplares sucesivamente obtenidos). Si se tiene una PC, un digitalizador y un programa de dibujo, se puede armar la hoja completa de patrones de una sola vez, lo cual reduce el número de fotocopias a hacer.--->
==Etapas del armado de una estructura==
[[Archivo:Icosaedro truncado de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 45. Icosaedro truncado<br>hecho con el método aquí descripto.'''</center></small>]]EEl siguiente es un resumen Como cualquier técnica, se requiere algo de práctica para llevarla a cabo bien. Se recomienda por eso comenzar armando una estructura con algunos de los patrones aquí dados, antes de intentar diseñar patrones nuevos. En el caso general, las etapas principales etapas del armadode un poliedro son las siguientes:
* Comienza armando una estructura Determine los ángulos internos de patrón conocido, antes de intentar diseñar patrones nuevoslas caras que tienen un vértice en común.* Cuenta Cuente la cantidad de vértices de cada tipo diferente y diseña use o diseñe el patrón correspondiente a cada uno.* Para diseñar el patrón debes conocer primero los ángulos internos Haga la cantidad necesaria de patrones de las caras que tienen ese vértice en comúncada tipo y algunos más. Si * Seleccione la cara es un polígono regular cantidad necesaria de n lados, sus ángulos internos son todos iguales y valen α = varillas (n – 2Nº de aristas)·180°/nusando el calibre para verificar que todas tienen el mismo diámetro.* El esquinero del vértice debe tener tantos dobleces como caras confluyen en élDetermine la longitud de varilla apropiada para la estructura.* Haz solo 1 patrón Corte todas las varillas de cada tipo. Luego multiplícalos por fotocopiado o digitalización computada hasta tener la cantidad total necesaria y algunos másmisma longitud, para reponer cualquier roturaredondeando sus extremos.* Recorta Recorte los patrones unos milímetros por fuera de su borde. El corte por las líneas se hará cuando esté pegado.* Pega Pegue los patrones con unos pocos toques de adhesivo sólido sobre el lado no aluminizado de la lámina de TetraPak®, evitando hacerlo sobre un pliegue del envasesquinero que quedará en el interior. Recorta * Recorte luego cuidadosamente con tijera por las líneas continuas exteriores. Respeta Respete el receso de la pestaña.* Determina la longitud de varilla apropiada para la estructura. Selecciona la cantidad necesaria usando el calibre para verificar que todas tienen el mismo diámetro.* Usa Corte los ojales con un sacabocados del mismo de diámetro o levemente superior al de la varilla. Con un diámetro inferior, tendrás dificultades en la introducción de las varillas con riesgo de rotura del esquinero. Si el agujero es demasiado gran de, la varilla quedará suelta y la estructura se desarmará. Prueba con un esquinero armado, si cuesta mucho introducir la varilla, aumenta el diámetro de * Despegue los agujeros a la medida siguiente, verificando que no se sueltepatrones.* Pliega Abroche los esquineros por las líneas de trazos, asentando bien el doblez con un objeto redondeado y suave.* No comiences el abrochado Forme las presillas de los esquineros hasta que todos estén recortados, plegados: la pericia que brinda el trabajo repetitivo disminuye los errores y el tiempo de realización de eliminando las tareas. Retira el papel patrón antes de comenzar a abrochararrugas.* Se cortan las varillas de la misma longitud, es decir se la igualan a la varilla de menor longitud, afilando levemente las puntas con Arme el cuerpo completando un sacapuntas o una trincheta para facilitar su introducciónángulo poliedro por vez.
==Esquineros selectos==
==Fuentes==
La técnica aquí descripta fue desarrollada por Carlos E. Solivérez para los cursos de Tecnología del Instituto de Formación Docente de San Carlos de Bariloche, entre los años 2000 y 2004.