Cualquiera de las dos maneras de introducirlos es suficiente para fundamentar las operaciones con números naturales de modo tal que no conduzca a error o contradicción. Esta forma de dar origen a los números no tiene nada que ver con el origen cognitivo del concepto y su secuencia temporal de adquisición por una persona típica de alguna clase social de alguna cultura del planeta (proceso ''situado''). Es nada más y nada menos que un requisito para asegurar que no habrá violaciones de la Lógica Matemática, tema completamente diferente.
Una tercera y frecuente aproximación al concepto de número es el estudio de la historia de su uso. El uso cardinal es muy antiguo en la especie humana, no se sabe con certeza cuanto. Se han encontrado, por ejemplo, marcas talladas en huesos o inscripciones en roca que los arqueólogos interpretan como el cardinal de conjuntos que pueden ser presas, o bienes valiosos de cualquier tipo. El establecimiento de símbolos numéricos y la realización de operaciones con ellos es mucho más cercano en el tiempo, porque requiere de la escritura. Los más antiguos, que ya incluyen operaciones matemáticas complejas, se encuentran en el Medio Oriente, en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Escritura_cuneiformee escritura cuneiforme] de la civilización sumeria. Esto no aporta demasiado, sin embargo, sobre los rasgos centrales de los números.
Los niños no ingresan a la escuela en la etapa inicial de su desarrollo cognitivo, sino en una en que los conceptos y operaciones que aquí se describen ya se han alcanzado y practicado, aunque por regla general con muy diferentes grados de refinamiento por una diferente intensidad de práctica. Entre los objetivos del docente no se cuentan el de investigar etapas de evolución cognitiva ni grados de rigor lógico de los conceptos que fundamentan las operaciones aritméticas. El objetivo es lograr que los niños las incorporen del modo más rápido posible y las lleven a cabo con el mínimo de errores posibles, poniendo a su alcance métodos simples de verificación de la corrección de sus resultados. La secuencia conceptual que aquí se presenta, puesta en práctica con didácticas adecuadas, puede ser un medio [[eficiencia|eficiente]] para el logro de este objetivo, aunque probablemente no sea el único viable.