Usamos continuamente el '''concepto de númeronatural''' pese a que no podemos explicarlo bien ni definirlo con precisión. Sus aplicaciones prácticas exceden largamente nuestra comprensión y sin ellos no serían posibles ciencias exactas como la Física, ninguna de las ingenierías y la mayoría de las tecnologías, incluyendo a todas las industriales. La Economía tampoco sería viable sin ellos, ya que todas las transacciones comerciales se cuantifican con números en términos de unidades de valor de cambio como los pesos ($). La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y se establecieron con rigor todas las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos (construcciones, cálculo de impuestos, comercio…), después como una disciplina independiente de sus aplicaciones —tema que no se discute aquí—. Sin embargo, la Matemática no explica el ''concepto de número'' en términos comprensibles para no matemáticos, sólo lo formaliza de modo de evitar errores y contradicciones en su uso, extendiéndolo más allá del concepto inicial de número natural (1, 2, 3.......), base del concepto más general de números reales que incluye a los racionales (fracciones), radicales (raíces de todo orden) y transcendentes como ''e'' y ''π '' (pi). En este artículo se discute sólo el concepto de número natural, fundamento de todos los demás, tratando de poner en evidencia —con fines mayoritariamente docentes— dos de sus [[rasgo]]s esenciales. El primero es la medida de la cantidad que en Matemática se denomina el ''cardinal'' de un conjunto de elementos. El segundo es el "grandor relativo" de los diferentes cardinales, cuándo uno es mayor (>) o menor (<) que otro; es decir, las relaciones numéricas de orden. Durante el desarrollo se discute la independencia de estos dos rasgos, el hecho de que uno de ellos puede estar presente sin el otro.
==Enfoque de este artículo==
El concepto de número natural puede ser interpretado de modos muy diferentes según quienes lo analicen: psicólogos cognitivos, matemáticos, historiadores, docentes u otras personas que sólo quieran estar mejor informadas sobre este concepto tan básico. Es por ello imprescindible discutir del modo más claro posible el enfoque elegido para este artículo.
Los psicólogos cognitivos están interesados en la secuencia temporal en que se desarrollan las destrezas cognitivas de las personas, en especial los niños. A partir de los trabajos pioneros del biólogo suizo [[constructivismo|Jean Piaget]] en las décadas de 1930 y 1940 (véase, especialmente, ''Génesis del número en el niño''), el concepto de número ha sido un continuo tema de investigación (véase, por ejemplo, el trabajo de Brainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). Los desarrollos cognitivos son, a veces, incrementales, es decir, uno de ellos es requisito de otro. Por ejemplo, es imposible hacer experimentos avanzados de cardinalidad —los que exceden las destrezas innatas del niño, véase el ''conteo súbito'' en la sección siguiente— con un bebé que no ha alcanzado todavía a discernir objetos individuales y a comprender su perdurabilidad en el tiempo (la ''conservación de los objetos'' de Piaget). Otras veces, en cambio, es posible llegar al mismo concepto por vías diferentes. Algunos experimentos sugieren que en el proceso de formación del concepto de número el concepto de ''ordinal'' precede al de ''cardinal'' (caso de Brainerd), mientras otros indican que otras vías pueden estar en juego (caso de Rips y colaboradores).
El concepto de número natural se desarrolla recién después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellos. Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de objetos, como piedras, monedas, perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de número, concepto que incluye más características que el de la mera diversidad en cantidad. No es que todos los objetos agrupados sean idénticos, es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupaciones —en Matemática llamadas conjuntos— de "piedritas", como elementos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, en lo sucesivo, el concepto de ''elemento'', más general que el de ''objeto'' (cuerpo material con límites bien definidos). La razón de estos requisitos es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipo.
Los matemáticos, por su parte, han fundamentado el concepto de número natural de dos modos completamente diferentes que no requieren el uno del otro si sólo se atiende al rigor de los procedimientos. El primero de estos modos, introducido en 1884 por el matemático alemán Gottlob Frege, corresponde básicamente al esbozado en la sección siguiente para la determinación del cardinal de un conjunto en base a biyecciones. El segundo —basado en el concepto de orden y en grandes líneas coincidente con la discusión de la sección sobre ese tema— fue introducido por el italiano Giuseppe Peano en 1894, como el siguiente conjunto de cinco axiomas:
# 1 es un número natural.
El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en el bolso de la derecha. Lo único que hizo fue hacer corresponder un poroto (y sólo uno) a cada jefe de familia, destreza normal de las personas adultas. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron.
La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina [http://es.wikipedia.org/wiki/Biyección ''biyección'']—establece la igualdad del cardinal de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que el cardinal no es un rasgo propio de un objeto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos dice ya que '''los números no son objetos ni rasgos de objetos, sino construcciones mentales abstractas'''.
Desde el punto de vista matemático el cardinal tiene dos fundamentos esenciales:
El cardinal de un conjunto es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos verificar que los cardinales ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática, una ''cota superior'') para la cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se puede construir otro de mayor cardinalidad agregándole elementos, hecho que es la base de la introducción del concepto de infinito (simbolizado en Matemática con ∞).
El cardinal de un conjunto es menor que el de otro si se puede obtener quitándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''u'', ''d'' y ''t'' son menores que el cardinal de ''c'', porque se obtienen quitando elementos a éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''u'' y ''d'' son menores que los de ''t'' y ''c'', y que el de ''u'' es menor que el de ''d'', ''t'' y ''c''. Aquí aparece un importante hecho nuevo. No : no hay agrupación de elementos con cardinal menor que el de ''u'', porque si le quito a éste su único elemento no tengo ninguna agrupación. Esta restricción histórica inicial fue posteriormente eliminada de la Matemática extendiendo el nombre de conjunto también a una agrupación sin ningún elemento, cuya cardinalidad (el cero o 0) no se discutirá aquí.
==Hacia el concepto abstracto de número==
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[[Archivo:Cardinales por representaciones.jpg|1000px|center|thumb|<small><center>'''Figura 2. Si un niño no es capaz de asignar correctamente los símbolos a cada uno de estos conjuntos y ordenarlos de modo creciente, no domina entiende el concepto matemático de númeronatural.'''</center></small>]]
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* las agrupaciones de objetos por sus representaciones (en papel o en la pantalla de una computadora como en la Figura 1);
* los conjuntos de referencia o sus representaciones, por sus nombres (símbolos), caso en que recién cobran sentido las denominaciones 1 (en vez de ''u''), 2 (''d''), 3 (''t''), 4 (''c'') y así siguiendo;
* las operaciones con conjuntos por operaciones con sus representaciones o por sus símbolos, como en los de la Figura 2.
Un error común de los docentes que enseñan el concepto es usar figuras idénticas con ordenamientos geométricos regulares. Por ; por ejemplo, círculos del mismo tamaño y color, alineados y espaciados de modo regular. Los estudios cognitivos muestran que en la primera etapa de adquisición del concepto cardinal de número los niños lo asocian con todos los rasgos comunes entre los diferentes conjuntos. Es imprescindible, por ello, ir descartando progresivamente rasgos comunes hasta que, como se hizo en la Figura 2, sólo quede uno que establezca una categoría bien definida. En la Figura 2 el rasgo común es el de forma circular, pero podría haber sido el de tamaño o el de , color (¿se le ocurre algún otro utilizable en el aula?)u ordenamiento espacial.
No se necesita ahora tener conjuntos de referencia, basta tener los símbolos que los representan y memorizar su orden. Se llega recién entonces a la operación de contar, que en la primera etapa, por ejemplo, va acompañada del trazado de palitos con lápiz sobre un papel o de agrupación de pequeños objetos sobre la mesa de trabajo (granitos de arroz, piedritas…). Éste es el comienzo de la Aritmética, ya que si tomamos una agrupación de granitos de arroz con cardinalidad 3 y la agregamos a otra con cardinalidad 4 obtenemos una nueva agrupación con 7 granitos: es decir:
:<center>7 - 3 = 4.</center>
'''Las relaciones de orden de la cardinalidad de conjuntos provienen de operaciones que la modifican''', operaciones que son el fundamento de la Aritmética.
==Fuentes==
* Rips, Lance J. & Bloomfield, Amber & Asmuth, Jennifer; ''From numerical concepts to concepts of number''; revista Behavioral and Brain Sciences, vol. 31; EEUU; 2008; pp. 623687; doi:10.1017/S01 405525X08005566. El artículo contiene numerosas referencias así como adhesiones y refutaciones a los experimentos citados.
* Solivérez, Carlos E.; [http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/f/f1/Rasgos_centrales_del_concepto_de_número_por_Carlos_E._Solivérez.pdf ''Rasgos centrales del concepto de número''], versión original de este artículo en formato pdf.
* Turégano, Pilar & Montañés, Juan & Parra, Marta & Sánchez, Trinidad; [http://www.uclm.es/ab/educacion/ensayos/pdf/revista15/15_20.pdf ''El concepto de número natural y las cuatro operaciones básicas: marco teórico'']; Revista de la Facultad de Educación de Albacete, Nº15; (España); 2000; pp. 283‑313.