A diferencia de las leyes físicas, químicas y biológicas, los conceptos matemáticos no son parte de la naturaleza sino provienen de la interacción de la mente humana con ella. Reflejan la manera en que está estructurado el pensamiento, sus elementos constitutivos, las relaciones entre ellos y las operaciones de transformación de ambos ([[estructura]]s y [[constructivismo|procesos mentales]]). Durante el proceso de [http://es.wikipedia.org/wiki/Evoluci%C3%B3n_biol%C3%B3gica evolución biológica] de la especie humana estas características se adaptaron a la mejor resolución de sus problemas prácticos. Es por esta razón que la valoración y el rescate de la [[intuición ]] del estudiante —experiencia (experiencia internalizada no consciente, véase el artículo sobre también [[saber#Acción eficaz|saberacción eficaz]]— ) le facilita asumir el protagonismo activo de su propio aprendizaje, en vez de ser un desganado memorista que sólo busca satisfacer los aparentemente arbitrarios requerimientos de un maestro o profesor. Ésto es justamente lo que pasa cuando el concepto de área se desarrolla a partir de la aparentemente antojadiza definición de la de un cuadrado o rectángulo.
El concepto de área no es innato sino culturalmente transmitido. Se originó probablemente en tiempos prehistóricos cuando la especie humana era todavía nómade y vivía de la caza, la pesca y la recolección de frutos y raíces. La búsqueda de alimentos requería grandes recorridos en busca de las plantas y animales esenciales para la supervivencia. Al mismo tiempo, la competencia con otros grupos humanos requería respetar territorios ajenos o combatir por ellos, siendo el concepto de territorio afín al de área. En esta acepción operativa un área es una franja de territorio que se puede recorrer en cierto tiempo, dependiendo de la naturaleza del terreno y de la velocidad de desplazamiento. Este mismo concepto de área es el que tiene hoy aplicación práctica en un ''scanner'', dispositivo electrónico que explora las características gráficas de una superficie por desplazamiento sobre ella, cuya correcta denominación castellana debería ser ''explorador por barrido''.
La segunda acepción operativa de área —más básica, la usada en las ingenierías y en la Física— es la de cubrimiento y requiere un área de referencia como una manta, una alfombra o una baldosa. Esta acepción seguramente surgió en la etapa sedentaria de los asentamientos humanos estables, de la construcción de viviendas permanentes y de la ocupación continua de terrenos agrícolas y ganaderos. No se puede calcular la cantidad de semilla necesaria para cubrir un terreno de cultivo ni fabricar la cantidad de tela necesaria para vestir a una persona si no se tiene alguna manera de medir o calcular áreas. En esta acepción dos superficies cualesquiera (la del cuerpo y la de la tela, en el segundo ejemplo) tienen la misma área cuando una es capaz de cubrir a la otra sin sobrantes ni faltantes apreciables. Esta acepción, más simple, puede servir de fundamento a la primera acepción discutida, la del recorrido, que puede entonces considerarse como un proceso de cubrimiento [[virtual]].
==Áreas de figuras irregulares==
==Conclusiones==
El concepto de área no surgió por caprichoso vuelo de la imaginación sino por las necesidades prácticas de cuantificar cubrimientos de muy variado tipo, entre las los que hoy podemos incluir algunos tridimensionales como los necesarias para la pintura de superficies no planas (caso de una cúpula). Ésto condujo naturalmente a la introducción de una unidad de superficie y de múltiplos y submúltiplos más apropiados para escalas mayores o menores que la original. La medida resultante (cantidad de unidades de referencia) es fácil de calcular cuando la unidad de cubrimiento es una forma regular simple como el rectángulo. Ésto no impide —de hecho es necesario en casos como el del círculo— el uso de unidades de cubrimiento de formas muy variadas cuya área, sin embargo, sigue cuantificándose en términos de cuadrados de tamaño apropiado (cm², m², ha = hm², km²...). Trabajar el concepto de área sólo para figuras regulares puede ayudar a desarrollar el concepto de medida, pero no basta para las aplicaciones prácticas que motivan la introducción del concepto. Es por ello necesario desarrollar la noción de cubrimiento desde el mismo comienzo de su estudio.
Cuando se tiene una superficie que no puede cubrirse de manera exacta con triángulos (la figura más pequeña para la que se tiene una fórmula simple), para obtener un cubrimiento (medida) perfecto es necesario recurrir a subunidades cada vez más pequeñas. La necesidad del pasaje al límite no es, por lo tanto, un artificio para la definición de integrales matemáticas sino un producto de la necesidad de hacer cubrimientos perfectos de superficies irregulares. Aunque desde el punto de vista práctico la precisión total no interesa, la Matemática la requiere de modo ineludible por razones que no es posible discutir aquí. Cuando se ilustra de modo apropiado, el concepto de pasaje al límite no es tan difícil como habitualmente se cree, aunque si lo es su definición matemática rigurosa (véase Klein, pp. 211‑220). Este concepto es imprescindible para el tratamiento matemático de cualquier tecnología compleja y debería ser trabajado, en etapas apropiadas, en las escuelas primarias (para las que el esbozo dado en la primera parte de este trabajo es suficiente) y secundarias (donde hay que desarrollar temas adicionales).
* Solivérez, Carlos E.; {{pdf|http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/4/4c/Conceptos_de_%C3%A1rea_por_Soliv%C3%A9rez.pdf|''Del concepto intuitivo al concepto matemático de área''}}. Versión inicial de este artículo.
* Stratton, Julius Adams; ''Electromagnetic theory''; Edit. McGraw Hill; New York (EEUU); 1941.