En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas. En cambio, es contrario a nuestra intuición que la suma de un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito. Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Se toma para ello un cuadrado de área ''A'' y se lo divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2. Luego se divide en dos este rectángulo para obtener un cuadrado de área ''A''/4. El proceso de subdivisión se continúa obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área ''A''. Esta secuencia corresponde a la denominada serie geométrica:
[[Archivo:Integral definición.jpg|300px|right|thumb|<center>'''Figura 10. Definición de una integral.'''</center>]]
[[Archivo:Integral definición.jpg|300px|right|thumb|<center>'''Figura 10. Definición de una integral.'''</center>]]
Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado. En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 10 la curva superior está definida por la función ''y''(''x''), cuyos valores para las abscisas indicadas es ''y''<sub>n</sub>=''y''(''x''<sub>n</sub>). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior ''y'' el eje ''x'' son rectángulos de base constante ''Δ<sub>x</sub>'' y altura variable ''y''<sub>n</sub>. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados ''x'' e ''y'', y están asentados sobre el eje horizontal ''x''. El área ''A''<sub>6</sub> resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente:
El símbolo ∫ representa la operación de suma. El símbolo ''dx'', introducido por Leibniz, indica el pasaje de ''Δ<sub>x</sub>'' al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se vincula luego a un operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber.
{||[[Archivo:Integral diferencia.jpg|500px|left|thumb|<center>'''Figura 11. El área del círculo es ''A''=''A''<sub>1</sub>–''A''<sub>2</sub>.'''</center>]]|Pareciera que el método no es apropiado para evaluar áreas de superficies cerradas arbitrarias, pero no es así. El uso Cuando la región cuya área se quiere calcular no contiene el origen del sistema de coordenadas cartesianas requiere , hay que descomponer el borde de la superficie región (la curva ''y''(''x'')) en segmentos de modo tal que el área deseada pueda obtenerse por diferencia. Como la explicación escrita es más complicada que la visual, remito se remite al lector a la Figura 11 donde el área ''A '' deseada es se calcula como la diferencia A1 – A2.[[Archivo:|300px||thumb|de áreas ''A''<sub>1<center/sub>–'''Figura 11. El área del círculo es A = A&sub1; – A&sub2;.'''<sub>2</centersub>]].|}También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada, como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 1112. Estos sectores están determinados por su radio rn, el ángulo polar qn que éste determina con el eje horizontal y su apertura Dq, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 7. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''Figura 1112. Cubrimiento con sectores circulares.'''</center>]]
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''Figura 1213. Cubrimiento con cuadraditos infinitesimales.'''</center>]]
Sin embargo, las antedichas integrales simples dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso de cubrimiento completo allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados Dx ''Δ<sub>x</sub>'' y Dy ''Δ<sub>y</sub>'' cuyas longitudes tienden a cero. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho Dx ''Δ<sub>x</sub>'' se hace tender a cero, pero cuya altura Dy ''Δ<sub>y</sub>'' es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 12 13 son
El tercero y cuarto miembro de esta ecuación describen cómo estas integrales dobles se reducen a una sucesión de dos integrales simples. Cuando la curva que delimita la superficie es suficientemente “regular” (concepto que requiere una especificación compleja) esta reducción puede hacerse en cualquiera de los dos órdenes indicados.
El cálculo de áreas mediante integrales dobles puede hacer también en sistemas de coordenadas no cartesianas, como el de la Figura 1112, pero este proceso no aporta conceptualmente nada nuevo.