La unidad adoptada universalmente por la Física ([[http://es.wikipedia.org/wiki/SI Sistema Internacional]] de unidades, o SI) es el área de un cuadrado de 1 metro de lado, o metro cuadrado (m², véase [[M]]). Para grandes áreas la operación de cubrimiento se facilita si se toman múltiplos de la unidad principal. Nótese, por ejemplo, que la zona central de la Figura 4 puede cubrirse con una super-unidad cuadrada formada por 9 unidades principales. Cada unidad convencional tiene un rango práctico de aplicación: el cm² para superficies que caben en nuestras manos, el m² para departamentos, la hectárea (1 ha=10.000 m²) para lotes y el km² (100 ha) para las áreas de provincias y países.

En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas. En cambio, es contrario a nuestra intuición que la suma de un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito(véase Courant y Robbins, pp. 441‑446). Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Se toma para ello un cuadrado de área ''A'' y se lo divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2. Luego se divide en dos este rectángulo para obtener un cuadrado de área ''A''/4. El proceso de subdivisión se continúa obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área ''A''. Esta secuencia corresponde a la denominada serie geométrica:

El símbolo ∫ representa la operación de suma. El símbolo ''dx'', introducido por Leibniz, indica el pasaje de Δ''_x'' al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se vincula luego a un operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber (véase, por ejemplo, el libro de Rey Pastor y otros, cap. XIII).

También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada (véase Granville), como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 12(Granville, pp. 629‑630). Estos sectores están determinados por su radio ρ_n, el ángulo polar θ_n que éste determina con el eje horizontal y su apertura Δ_θ, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 7. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías (véase , desde el punto de vista de la Física, Stratton, pp. 47‑59).

Las integrales simples anteriores dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados Δ''_x'' y Δ''_y'' cuyas longitudes tienden a cero. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho Δ''_x'' se hace tender a cero, pero cuya altura Δ''_y'' es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 13 son(Granville, pp. 610‑613):

<br>[[Archivo:Integral doble simbólica.jpg|350px]]

* Jean Piaget (compilador)Courant, La explicación en las ciencias (Coloquio de la Academia Internacional de Filosofía de las Ciencias, Ginebra, 1970), Ediciones Martínez Roca, Barcelona (España), 1977. En especial el capítulo 13.* Richard Courant y Herbert Robbins, Herbert; ''Qué es la Matemática, ''; Editorial Alda, ; Buenos Aires (Argentina), ; 1954, pp. 441-446.* J. Rey PastorGranville, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Análisis Matemático, vol. 1, Editorial Kapelusz, Buenos Aires (Argentina), 1952, cap. XIII.* William Anthony Granville, ; ''Cálculo diferencial e integral, ''; Edit. UTEHA, ; México, ; 1956, pp. 629?630.* Julius Adams Stratton, Electromagnetic theory, McGraw Hill, New York (EE. UU.), 1941, pp. 47?59.* Granville, op. cit., pp. 610?613.