En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas . En cambio, es contrario a nuestra intuición que la suma de un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito (véase Courant y Robbins, pp. 441‑446). Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Se toma para ello un cuadrado de área ''A'' y , se lo divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2y se lo adiciona al anterior. Luego se divide en dos agrega la mitad de este rectángulo para obtener , un cuadrado de área ''A''/4. El Se prosigue de este modo con el proceso de subdivisión se continúa y agregado obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área ''A''. Esta secuencia corresponde a la denominada serie geométrica:

Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado.  En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 10 la curva superior está definida por la función ''y''(''x''), cuyos valores para las abscisas indicadas es son ''y''_n=''y''(''x''_n). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior ''y'' el eje ''x'' son rectángulos de base constante Δ''_x'' y altura variable ''y''_n. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados ''x'' e ''y'', y están asentados sobre el eje horizontal ''x''. El área ''A''₆ resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente: