El concepto de área está tan vinculado a nuestras actividades cotidianas que tomar conciencia de él es tan difícil como percibir el aire que respiramos. Su origen es tan viejo como la humanidad, pero su formulación matemática precisa, lograda recién cuatro siglos atrás, es hoy sólo patrimonio de unos pocos profesionales de las ciencias exactas. Para terminar con esta indeseable situación hay que modificar la '''enseñanza del concepto de área''' desde la escuela primaria. El presente artículo propone una manera de hacerlo.
El cubrimiento permite determinar la igualdad de áreas, con un margen de error que depende de cual sea la menor fracción de la unidad de cubrimiento que se esté dispuesto a usar. En todo el análisis previo esta unidad era elegida arbitrariamente; podía ser una hoja de papel, un trozo de tela, una alfombra o cualquier otro objeto adaptable a la superficie cuya área se quiere determinar por comparación. Esta arbitrariedad —común a las unidades de cualquier magnitud, tales como una longitud, un tiempo o una luminosidad— crea problemas cuando se quiere comunicar áreas a alguien que no tiene acceso directo a la unidad. Por ejemplo, si alguien nos ofrece en EEUU un terreno cuya área es de 200 acres (unidad habitualmente usada en ese país), no sabremos de qué nos está hablando hasta que sepamos cómo compararla con nuestra unidad habitual para ese fin, la hectárea (ha).
La unidad adoptada universalmente por la Física ([http://es.wikipedia.org/wiki/SI Sistema Internacional] de unidades, o SI) es el área de un cuadrado de 1 metro de lado, o metro cuadrado (m², véase [[Mmetro]]). Para grandes áreas la operación de cubrimiento se facilita si se toman múltiplos de la unidad principal. Nótese, por ejemplo, que la zona central de la Figura 4 puede cubrirse con una super-unidad cuadrada formada por 9 unidades principales. Cada unidad convencional tiene un rango práctico de aplicación: el cm² para superficies que caben en nuestras manos, el m² para departamentos, la hectárea (1 ha=10.000 m²) para lotes y el km² (100 ha) para las áreas de provincias y países.
==Áreas de figuras regulares==
[[Archivo:Área círculo por polígonos.jpg|500px|right|thumb|<small><center>'''Figura 8. Octógono inscripto y circunscripto en una circunferencia.<br>El área gris corresponde al defecto y la negra al exceso de cubrimiento.'''</center></small>]]
Los matemáticos han desarrollado un método muy general para calcular el área encerrada por curvas cerradas expresables mediante funciones matemáticas. La más regular de todas estas curvas, en el sentido de que tiene la mayor cantidad de [[simetrías]], es la circunferencia. El área de la superficie plana encerrada por una circunferencia (el círculo) se puede calcular cubriéndola con sectores circulares que pueden reordenarse para asemejarse a un rectángulo. Comenzamos, para aclarar ideas, con su cubrimiento con sólo 4 sectores circulares y luego dividimos cada uno de estos por 6 llevándolos a 24, como se muestra en la Figura 7. El cubrimiento es siempre perfecto cualquiera sea el número de sectores circulares usados, a diferencia de lo que sucedía en la Figura 4. La razón de aumentar su número es poder calcular su medida usando la fórmula básica del área del rectángulo. En efecto, cuanto más chicos sean los sectores circulares, más rectos se harán los bordes y más tenderá el “paralelogramo” a un rectángulo. Como se usa la mitad de los bordes externos de los sectores para formar el lado superior y la otra mitad para formar el inferior, su longitud es la misma e igual a la mitad del perímetro ''L'' de la circunferencia. Los lados “verticales” opuestos, por su parte, tienen longitudes iguales al radio ''R'' de la circunferencia. Por lo tanto, cuando los sectores circulares se hacen muy muy pequeños la figura tiende a un rectángulo cuya área vale ''A=R·L/2''. La relación entre el perímetro ''L'' y el radio ''R'' de la circunferencia es ''L=2πR'' donde ''π''=3,14159... Reemplazando este valor de ''L'' en la fórmula del área se obtiene el conocido valor ''A=πR²''.
El proceso de cubrimiento recién descripto conduce al mismo resultado que la inscripción o circunscripción en la circunferencia de polígonos regulares con cantidad creciente de lados. El centro y los vértices del polígono determinan triángulos isósceles la longitud de cuya base se hace infinitesimal (tiende a cero). Este método general de calcular un área cualquiera usando elementos de cubrimiento cada vez menores, el llamado ''pasaje al límite infinitesimal'', ya fue usado por los geómetras griegos hace más de 2.000 años. El uso de elementos de área infinitesimales es el punto de partida del cálculo integral inventado por [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#Desarrollo_del_C.C3.A1lculo Isaac Newton] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz#C.C3.A1lculo_infinitesimal Gottfried Leibniz] hace casi 4 siglos, base imprescindible de la Física y las ingenierías actuales.