[[Archivo:Cobertura superficiesEl concepto de cubrimiento se cuantifica cuando se usa una superficie de referencia (unidad) capaz de cubrir, por repetición, otra mucho mayor. Aquí es crítica la forma de la unidad para que sea capaz de cubrir áreas crecientes, por repetición y sin dejar huecos entre sí.jpg|400px|right|thumb|<center>'''Hay muchas formas con esa propiedad, siendo las más conocidas —por su uso en baldosas y azulejos— los cuadrados (véase la Figura 1) y rectángulos. Cubrimiento Otras menos comunes son el triángulo equilátero, como se ilustra en la Figura 2, los paralelogramos de superficies cualquier forma y los exágonos regulares. Es imposible, en cambio, cubrir una superficie con cuadrados pentágonos regulares sin dejar huecos entre ellos (véase la Figura 3). Es importante aquí establecer bien la diferencia entre la ausencia de huecos y solapamientos entre piezas contiguas y triángulos equiláterosla capacidad de cubrir cualquier forma sin excesos ni sobrantes, tema que se discute detalladamente a continuación.'''</center>]]
El concepto <br><Gallery widths=220 heights=138 align=center perrow=#4>Archivo:Cobertura superficies con cuadrados.jpg|<center>'''Figura 1. Cubrimiento de cubrimiento se cuantifica cuando se usa una superficie de referencia (unidad) capaz de cubrir, por repetición, otra mucho mayorcon cuadrados. Aquí es crítica la forma de la unidad para que sea capaz de cubrir áreas crecientes, por repetición y sin dejar huecos entre sí. Hay muchas formas '''</center>Archivo:Cobertura superficies con esa propiedad, siendo las más conocidas —por su uso en baldosas y azulejos— los cuadrados y rectángulostriángulos. Otras menos comunes son el triángulo equilátero, como se ilustra en la parte derecha de la jpg|<center>'''Figura 1, los paralelogramos de cualquier forma y los exágonos regulares3. También puede hacerse con triángulos equiláteros. Es imposible, en cambio, cubrir una '''</center>Archivo:Cobertura superficie con pentágonos regulares sin dejar huecos entre ellos (véase la .jpg|<center>'''Figura 2). Es importante aquí establecer bien la diferencia entre la ausencia de huecos y solapamientos entre piezas contiguas y la capacidad de cubrir cualquier forma sin excesos ni sobrantes, tema que se discute detalladamente a continuación3. El grado de cubrimiento de figuras irregulares con pentágonos regulares es mayor cuanto menor sea la unidad de área (el área de referencia)siempre incompleto.'''</center>Archivo:Cobertura superficies con subunidades. Para ello hay que subdivir esta área en fracciones, que en el caso de la jpg|<center>'''Figura 3 son 1/4 . El área aproximada de la unidad original para facilitar su visualización (la norma decimal es subdividir la unidad principal en décimassuperficie, centésimaspor defecto, y así siguiendo). Si siguierámos subdiviendo aún más la unidad, lograríamos aproximarnos cada vez más a un cubrimiento completo, hasta el punto en que el error cometido fuera despreciable. El uso sucesivo es de 16 unidades cada vez más pequeñas hasta lograr el cubrimiento completo es la base del concepto matemático de área que se discute al finaly 17/4.'''</center></Gallery><br>
<Gallery widths=200 heights=124 align=left perrow=#2>Archivo:Cobertura superficie con pentágonos.jpg|<center>'''Figura 2. El grado de cubrimiento con pentágonos regulares de figuras irregulares es siempre incompletomayor cuanto menor sea la unidad de área (el área de referencia).'''<Para ello hay que subdivir esta área en fracciones, que en el caso de la Figura 4 son 1/center>Archivo:Cobertura superficies con subunidades4 de la unidad original para facilitar su visualización (la norma decimal es subdividir la unidad principal en décimas, centésimas, y así siguiendo).jpg|<center>'''Figura 3Si siguierámos subdiviendo aún más la unidad, lograríamos aproximarnos cada vez más a un cubrimiento completo, hasta el punto en que el error cometido fuera despreciable. El área aproximada uso sucesivo de unidades cada vez más pequeñas hasta lograr el cubrimiento completo es la superficie es base del concepto matemático de 16 unidades y 17/4área que se discute al final.'''</center></Gallery>
Para grandes áreas, tomar múltiplos de la unidad principal facilita la operación de cubrimiento. Nótese que la zona central de la Figura 3 4 puede cubrirse con una super?-unidad cuadrada formada por 9 unidades principales. Cada unidad convencional tiene un rango práctico de aplicación: el cm2 cm² para superficies que caben en nuestras manos, el m2 m² para edificios, la hectárea (1 ha=10.000 m2m²) para lotes y el km2 km² (100 ha) para las áreas de provincias y países.
==Áreas de figuras regulares==
Cuando la unidad de área es un cuadrado y cada lado se divide en n segmentos iguales, la cantidad de cuadraditos en que se subdivide el área es n·n = n2. Las longitudes —a semejanza de las áreas y cualquier otra magnitud física— se miden por comparación con longitudes de referencia. Si la longitud de un lado es n segmentos, el área del cuadrado que tiene ese lado es n2 cuadraditos, mostrando que las unidades de área son unidades de longitud al cuadrado. Esto se ejemplifica con el cálculo del área de un rectángulo que se hace a continuación.
El rectángulo de la Figura 45, cuyos lados miden respectivamente 3 y 5 unidades de longitud (los segmentos indicados), se puede cubrir completamente con cuadraditos cuyos lados miden 1 unidad de longitud, y cuyo número, como se ve a simple vista, es el producto de las medidas de los lados. Para mayor claridad del argumento estos rectángulos se representan separados a la derecha de la figura. Esta propiedad es completamente general y conduce a la fórmula del área de un rectángulo como el producto de su base por su altura. No es una definición inventada sino una consecuencia del concepto de área como medida del cubrimiento.
Con este modo de introducir el concepto de área es fácil comparar el área de un triángulo con la de un rectángulo. En la Figura 5 6 se muestra la manera habitual de hacer esta reducción mediante la subdivisión de un triángulo escaleno, operación válida también para los triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos (el caso más simple).
Figura 45. Cálculo del área de un rectángulo por cubrimiento.
Se traza la altura a del triángulo grisado, la línea de trazos, subdividiéndolo en dos triángulos rectángulos menores. Se construyen dos triángulos iguales a éstos, ubicándolos de modo de formar un rectángulo. Este rectángulo tiene un área doble que la del triángulo, porque para cubrirlo se requieren dos triángulos como el original. El área del triángulo es, entonces, igual a la mitad de la del rectángulo así construido, la mitad del producto de su altura por su base.
Figura 56. Cubrimiento de un rectángulo con dos triángulos de igual área.
Cuando el concepto de área se introduce definiendo a la de un rectángulo como el producto de su altura por su base, el método gráfico de cálculo del área de un triángulo aparece como un artificio injustificado, cuando en realidad no es así. El problema surge porque se empieza con una fórmula, no con un concepto. Toda fórmula es la expresión matemática de un concepto cuya formación debe alcanzarse primero.
==El área de un círculo y el concepto de límite==
Los matemáticos han desarrollado un método muy general para calcular el área encerrada por curvas cerradas expresables mediante funciones matemáticas. La más regular de todas estas curvas, en el sentido de que tiene la mayor cantidad de simetrías, es la circunferencia. El área de la superficie plana encerrada por una circunferencia (el círculo) se puede calcular cubriéndola con sectores circulares que pueden reordenarse para asemejarse a un rectángulo. Comenzamos, para aclarar ideas, con su cubrimiento con sólo 4 sectores circulares y luego dividimos cada uno de estos por 6 llevándolos a 24, como se muestra en la Figura 67.
Figura 67. Cálculo del área del círculo por subdivisión en sectores circulares.
El cubrimiento es siempre perfecto cualquiera sea el número de sectores circulares usados, a diferencia de lo que sucedía en la Figura 34. La razón de aumentar su número es poder calcular su medida usando la fórmula básica del rectángulo. En efecto, cuanto más chicos son los sectores circulares más rectos se hacen los bordes y más tiende el “paralelogramo” a un rectángulo. Como usamos la mitad de los bordes externos de los sectores para formar el lado superior y la otra mitad para formar el inferior, su longitud es la misma e igual a la mitad del perímetro L de la circunferencia. Los lados “verticales” opuestos, por su parte, tienen longitudes iguales al radio R de la circunferencia. Por lo tanto, cuando los sectores circulares se hacen muy muy pequeños, la figura tiende a un rectángulo cuya área A vale
.
La relación entre el perímetro L y el radio R de la circunferencia es donde p = 3,14159... Reemplazando este valor de L en la fórmula del área se obtiene el conocido valor .
Figura 78. Octógono inscripto y circunscripto en una circunferencia. El área gris corresponde al defecto y la negra al exceso de cubrimiento.
==Del cubrimiento al concepto de integral==
El cálculo de áreas mediante la operación matemática de integración se estudia en las escuela industriales argentinas en la asignatura Análisis Matemático. Una de las principales razones por las que los estudiantes tienen grandes dificultades para aprehenderlo en este nivel, al igual que en la universidad, es porque su concepto de área no ha sido introducido desde el punto de vista del cubrimiento.
En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es contrario a nuestra intuición el que la suma de infinitos elementos pueda dar un resultado finito. Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Tomamos para ello un cuadrado de área A y lo dividimos por la mitad para obtener un rectángulo de área A/2. Luego dividimos en dos el rectángulo para obtener un cuadrado de área A/4. El proceso de subdivisión se continúa obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 8 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente A. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área A.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'''</center>]]Figura 89. Esta suma de infinitas áreas cada vez más pequeñas es finita.
Esta secuencia corresponde a la serie geométrica
Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado.
En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 9 10 la curva superior está definida por la función y(x), cuyos valores para las abscisas indicadas es yn = y(xn). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior y el eje x son rectángulos de base constante Dx y altura variable yn. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados x e y, y están asentados sobre el eje horizontal x. El área A6 resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente: [[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'''</center>]]Figura 9. Definición de una integral.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'''</center>]]Figura 10. Definición de una integral.
El símbolo representa la operación de suma. El símbolo dx, introducido por Leibniz, indica el pasaje de Dx al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se reduce luego a una operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber.
Pareciera que el método no es apropiado para evaluar áreas de superficies cerradas arbitrarias, pero no es así. El uso de coordenadas cartesianas requiere descomponer el borde de la superficie (la curva y(x)) en segmentos de modo tal que el área deseada pueda obtenerse por diferencia. Como la explicación escrita es más complicada que la visual, remito al lector a la Figura 10 11 donde el área A deseada es la diferencia A1 – A2.
[[Archivo:|300px||thumb|<center>'''.'''</center>]]Figura 1011. El área del círculo es A = A1 – A2.
También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada, como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 11. Estos sectores están determinados por su radio rn, el ángulo polar qn que éste determina con el eje horizontal y su apertura Dq, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 67. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías.
Sin embargo, las antedichas integrales simples dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 34. El proceso de cubrimiento completo allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados Dx y Dy cuyas longitudes tienden a cero. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 9 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho Dx se hace tender a cero, pero cuya altura Dy es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 12 son
El tercero y cuarto miembro de esta ecuación describen cómo estas integrales dobles se reducen a una sucesión de dos integrales simples. Cuando la curva que delimita la superficie es suficientemente “regular” (concepto que requiere una especificación compleja) esta reducción puede hacerse en cualquiera de los dos órdenes indicados.