La Se explica aquí '''construcción de cómo armar poliedros desarmables''' hechos de con varillas y esquineros es una , [[técnica]] que tiene al menos 2 funciones importantes. La primera es facilitar la asimilación del importante concepto abstracto de [[estructura]] mediante su realización concreta en el caso geométrico de los poliedros, donde los elementos son las aristas (varillas) y las relaciones son los ángulos entre aristas (determinados por los ojales de los esquineros que las sujetan) y las distancias entre vértices (dados por la longitud de las varillas). La segunda aplicación es permitir al docente disponer de conjuntos de cuerpos fácilmente transportables sin el riesgo de rotura de los hechos de otros modos. Se explican aquí todos los pasos a seguir para la construcción de cualquier poliedro —regular —regular o no, convexo o no— no— y se dan sugerencias sobre materiales que pueden usarse en la tarea, incluyendo algunos reciclados. Se dan los esquineros que permiten la construcción de los 5 sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) y de algunos de los bellos [[poliedros arquimedianosarquimedeanos]], como el ilustrado en la Figura 1. En estas categorías de poliedros, para los cuales los esquineros son todos similares y las varillas tienen todas la misma longitud, se obtiene al mismo tiempo una prueba constructiva de que están unívocamente determinados por los ángulos poliedros y la longitud de arista, concepto geométrico conceptos geométricos de gran valor práctico.

** esquineros: envases TetraPak® reciclados o tapas de fotocopias anilladas en desuso o cartulina gruesa preferentemente semigruesa plastificada.

** adhesivo en barra** 1 hoja de papel de lija Nº 120.

** trincheta ("cúter");

** abrochadorachica.

** propiedades geométricas del poliedros a armar: Nº de vértices y aristas, ángulos poliedros en cada vértice;** patrones de los esquineros requeridos para el poliedro a construir.

** corte con trincheta ("cúter");** troquelado con sacabocadosacabocados;

** medición de ángulos con transportador (sólo para hacer los patrones de esquineros no provistos dados aquí).  ==Método y recomendaciones de construcción==El método de construcción es la unión de varillas de madera (las aristas del poliedro) con esquineros que las sujetan para formar el ángulo poliedro correcto en cada vértice. Para las varillas conviene usar palitos de brochette, que tienen usualmente unos 4 mm de diámetro y 24 cm de longitud y son de bajo costo y gran dureza, aunque a veces se rajan. Las de baja calidad no son recomendables porque suelen ser torcidas, de superficie rugosa y de diámetros no uniformes. Si las usa, tenga cuidado de seleccionar sólo las bien rectas y del mismo diámetro, ya que el mismo es crítico para el buen funcionamiento de los esquineros. Pueden usarse varillas de madera torneada, usualmente disponibles en comercios de productos de madera, que no tienen estos problemas pero son mucho más caras y usualmente menos resistentes. Las varillas deben recortarse de una longitud ''a'' apropiada al tamaño final del cuerpo que se quiere construir. Para los sólidos regulares y semirregulares este largo puede obtenerse a partir del valor del diámetro de la esfera ''D'' que los circunscribe, valor dado en la Tabla 1 y la del artículo [[poliedros arquimedeanos]]. Por ejemplo, si se quiere construir la estructura de una pelota clásica de fútbol ([[poliedros arquimedeanos|icosaedro truncado]]) de un tamaño comparable a la verdadera (unos 22&nbsp;cm) el valor es ''D''=5''a''. Esto da para ''a'' un valor de unos 4,8&nbsp;cm. La de la Figura 5 se construyó con varillas de 12&nbsp;cm, resultando un diámetro final de 57,5&nbsp;cm. Los esquineros delimitan los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que deben ser capaces de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez), así como sostener con firmeza y sin desgarrarse las varillas que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es el laminado usado en los envases TetraPak&reg;. Es más resistente y de mejor presentación el material con que se hacen las tapas de documentos fotocopiados y anillados. Las tapas de cuaderno, otro material reciclable, suelen ser demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general. En los poliedros convexos regulares y arquimedeanos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de por lo menos 3 y no más de 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno de una cara es 60&deg; (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en un vértice es 3 (de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (la suma de los ángulos internos de las caras en el vértice común debe ser menor de 360&deg;). [[Archivo:Esquinero generico.jpg|200px|right|thumb|<small><center>'''Figura 2. Patrón genérico de esquinero para un triedro.'''</center></small>]]En cada vértice los ángulos entre aristas son los ángulos internos de las caras que concurren allí. El patrón general de un esquinero con tres aristas (triedro) es el de la Figura 2, fácilmente extensible a los de 4 y 5 aristas. La zona más oscura es la pestaña que permite fijar el borde opuesto por superposición y abrochado; es decir, debe quedar exactamente cubierta por el borde opuesto de la abertura. Los cortes deben efectuarse por las líneas continuas: con tijera por los bordes externos y con sacabocados para los ojales (los círculos blancos) por donde pasan las varillas. Se facilita el abrochado de la pestaña si se dobla levemente la esquina contigua a la pestaña señalada con un punto en la Figura 2. Éste sirve de tope al borde que se superpone cuando se lo abrocha para que tape exactamente la pestaña. Si el material ha sido bien elegido y el abrochado es bien hecho, no es necesario reforzar esta unión. Cuando sea indispensable hacerlo, use cemento de contacto o cola vinílica; la resina epoxi o el cianoacrilato no tienen buena adhesión en los materiales propuestos.

:γ ==Método de construcción==[[Archivo:Icosaedro truncado de esquineros.jpg|300px|right|thumb|γ<smallsub>1<center/sub>'''Figura 2. Icosaedro truncado+ γ<brsub>hecho con el método aquí descripto.'''2</centersub></small>]]El método de construcción es la unión de varillas de madera (las aristas del poliedro) con esquineros que las sujetan para formar el ángulo poliedro en cada vértice. Conviene usar palitos de brochette como varillas, que tienen usualmente unos 4 mm de diámetro y 24 cm de longitud y son de bajo costo y gran dureza. Sin embargo, no cualquier tipo es apropiado y debe verificarse que su superficie sea lisa y que sus diámetros sean uniformes. Pueden usarse varillas de madera torneada, pero son mucho más caras y usualmente menos resistentes. Los palitos deben recortarse del largo apropiado al tamaño final del cuerpo que se quiere construir, el valor del diámetro de la esfera ''D'' que circunscribe los sólidos regulares y semirregulares. Pueden usarse enteros para los poliedros regulares y partidos por la mitad para los [[poliedros arquimedianos |arquimedianos]], donde podrían obtenerse cuerpos demasiado grandes y pesados.

Los esquineros delimitan son los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que deben ser capaces internos de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez) y sostener sin desgarrarse las varillas los 3 polígonos que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es tienen por vértice común el laminado usado centro del esquinero (3, 4 o 5 en los envases TetraPak&regel caso general). Es Lo más resistente y de mejor presentación el material de con que se hacen las tapas de documentos fotocopiados efectivo y anillados. Las tapas de cuadernos, otro material reciclable, suelen ser demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no simple es regla general.elegir

Las estructuras construidas de esta manera, aunque sólo soportan su propio peso, permiten obtener formas muy variadas con mínimo gasto en materiales. Se requiere, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los esquineros apropiados para cada vértice, cortar las varillas a la longitud apropiada y aguzarlas para facilitar su colocación:γ₁ = γ₂= γ/2.

En los poliedros convexos regulares y arquimedianos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia Ésto no siempre es posible, como en la estructura de 3 a 5 caras la Figura 4, caso en cada vértice. La razón de que debe usarse esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno libertad de una cara elección. En base a consideraciones similares es 60&deg; (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en fácil diseñar un esquinero para cualquier vértice es 3 (, trátese o no de lo contrario se delimita un planopoliedro convexo o regular, no un volumen) teniendo en cuenta que deben haber tantos dobleces y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes pares de ojales como aristas convergen en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (las suma . Si la cara es un polígono regular de los ''n'' lados, sus ángulos internos de son todos iguales y valen α = (''n'' – 2)·180°/''n''. Por ejemplo, el esquinero correspondiente a un cubo (las caras en el vértice común debe ser menor de 360&deg;son cuadrados con ''n''=4).tiene los siguientes ángulos:

y hay tantos dobleces como aristas, 3 dobleces. Aunque los ejemplos serán para dados más adelante corresponden a poliedros regulares o arquimedianosarquimedeanos, con las modificaciones que correspondan el método permite construir esquineros para cualquierpoliedro. [[Archivo:|300px|right|thumb|<small><center>La diferencia principal del caso general con los poliedros regulares y semirregulares es que en los últimos los esquineros son todos similares, mientras que en los primeros hay que hacer uno diferente para cada vértice. En la sección '''Figura . Fotografía de ambas caras de un esquinero con una varilla pasada.Esquineros selectos'''</center></small>]]Los esquineros deben estar hechos de material delgado (para que sea fácil insertar las varillas) se dan los patrones correspondientes a todos los sólidos platónicos y resistente (para que soporten manipulación frecuente). Al doblar levemente la esquina señalada con un punto en la Figura 3 (ángulo γ₂), sirve algunos de tope para sujetar el borde cuando se lo abrocha con la otra mano de modo que tape exactamente la pestaña. Se puede reforzar esta unión usando cemento de contacto o resina epoxi, pero no es imprescindible hacerlolos poliedros arquimedeanos.

Las aberturas circulares se troquelan de diámetro levemente superior al de las varillas, las que harán pasar a través de ellas como se muestra en la Figura 4. Un problema frecuente es que los palitos de brochette suelen venir de varios diámetros diferentes, aún en un mismo paquete; use todos de un sólo diámetro, el que usó para el troquelado. Un sacabocados permite hacer los troquelados rápidamente y con poco esfuerzo. Como guía para todos los cortes y dobleces se usan fotocopias del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido (no use otro, pues se busca poca adherencia) sobre la cara menos linda del material que no será visible cuando el poliedro esté terminado. Para obtener con [[eficiencia]] todos los necesarios, haga fotocopias con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar, cantidad igual al número de vértices del poliedro. En la láminasiguiente sección se da una técnica para lograr ésto eficientemente. [[Archivo:Esquineros con varillas.jpg|left|thumb|<small><center>'''Figura 3. Varilla insertada en esquinero.'''</center></small>]]Los ojales circulares, por donde se pasarán las varillas del modo ilustrado en la Figura 3, deben troquelarse con un sacabocados de diámetro levemente superior al de las varillas. Pruebe con un esquinero armado, si cuesta mucho introducir la varilla, aumente el diámetro de los agujeros a la medida siguiente, verificando que no se suelte. La razón principal por la que el material del esquinero no debe ser demasiado grueso es facilitar la formación en su interior de la presilla que sujeta a la varilla. Esto se ilustra en dicha figura, donde la fotografía de la izquierda muestra la parte interior del esquinero (cara cóncava) y la derecha la exterior (cara convexa). De este modo las varillas concurren en el vértice por la parte interior del esquinero. La mayor deformación se localiza en los ojales, donde el riesgo de rotura es máximo. Para evitar esta rotura es que los ojales se hacen circulares en vez de cuadrados, caso en que los desgarramientos de sus esquinas serían frecuentes. Una vez finalizados los cortes y hechos , debe eliminarse completamente de los esquineros el papel con los dobleces (que patrones, humedeciéndolo si es necesario. Los ojales deben conformarse previamente al armado final, usando una varilla. Para terminar prolijamente esta tarea conviene "planchar " la zona contigua a los ojales con algún objeto suave, como el cuerpo /tapa de un bolígrafo o marcador, de modo de eliminar las inevitables arrugas del material. Se fijan entonces los esquineros con la abrochadora, cuidando de una lapiceratapar exactamente la pestaña, que debe quedar del lado interior (cóncavo) del esquinero. Una vez armados todos los esquineros (el orden es aquí indiferente y esta etapa podría ser anterior o hecha [[tareas en serie y en paralelo|en paralelo]], simultáneamente)hay que cortar, el con trincheta, todas las varillas de la misma longitud y redondear sus extremos para facilitar la introducción. Conviene hacer ésto con ayuda de un sacapuntas (no hay que afilarlos, sólo redondear levemente los extremos) y retocar con un poco de papel puede sacarse facilmente de lija mediano, N&ordm;&nbsp;120 o similar. Se introducen luego ordenadamente las varillas en los esquineros, verificando con la imagen del poliedro la correcta formación de las caras. Los dos errores más comunes de esta etapa de armado final son de orientación del esquinero. Estos errores pueden suceder de 2 modos diferentes: cuando se orienta un esquinero hacia afuera de lo que será la superficie plastificadaestructura final, humedeciendo el papel violando la condición de poliedro convexo; cuando sea necesario, por ejemplo, en un icosaedro truncado se delimita una cara pentagonal con un ángulo interno que corresponde a una exagonal. Para obtener  Las estructuras construidas por este método, aunque sólo soportan su propio peso, brindan formas muy variadas con facilidad mínimo gasto en materiales. Se requieren, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los patrones necesariosesquineros apropiados para cada vértice y conformar bien las varillas. Cuando no se las usa, estas estructuras pueden desarmarse y guardarse ocupando un volumen muy reducido, haga lo que es muy práctico. Sólo deben pegarse las varillas a los esquineros cuando se quiere una fotocopia estructura permanente que no se deforme, lo que puede suceder cuando se las manipula con tantos ejemplares del patrón como frecuencia. ==Impresión de patrones==Es fácil recortar los esquineros cuando se quieren cortar. Al final usa un patron de esta guía encontrará para cada uno. Para eso se necesitan tantos patrones como esquineros hay, es decir, como vértices tiene la estructura (véase la Tabla 1 para los poliedros regulares y algunos ejemplosemirregulares). La fotografía El número de fotocopias a hacer se disminuye drásticamente si se usa la Figura 4 muestra siguiente técnica:* Se hace primero el patrón y luego se lo fotocopia (1 fotocopia hecha; 2 patrones).* Recortando el patrón copiado se lo pega sobre una hoja junto al original y separado de él unos 2&nbsp;mm y se los fotocopia ambas caras de un esquinero (con una sola varilla pasada, para mayor claridad2 fotocopias hechas; 4 patrones). La parte izquierda es * Se fotocopian luego 3 de los 4 patrones que ya se tienen, formando una vista interior línea, como en las 2 hojas al final del artículo (lado cóncavo3 fotocopias; 7 ejemplares) .* En la siguiente etapa se pueden fotocopiar 2 líneas completas y en la derecha subsiguiente, 4, con lo que en la fotocopia subsiguiente se llega al límite del tamaño de la hoja (6 fotocopias; 25 patrones), ya que una exterior hoja de formato legal (lado convexo21,5&nbsp;cm·35,6&nbsp;cm), la mayor de las fáciles de conseguir, puede contener 18 patrones. * De allí en más se fotocopian hojas completas, tantas como sean necesarias y algunas más para reemplazo en caso de error. La Figura 5 técnica es muy eficiente en disminuir el número de fotocopias. Para hacer los patrones de los 90 esquineros necesarios para la fotografía de un icosaedro truncado (estructura de la pelota de fútbol olímpica) armada con varillas , se requieren sólo 10 fotocopias sucesivas y sobran 7 patrones de reemplazo. Si se tiene una PC, un digitalizador y un programa de procesamiento de brochettes gráficos, se puede armar la hoja completa de 12 cm patrones de largouna sola vez, lo cual reduce el número de fotocopias a hacer a sólo 6. Si, en cambio, se fotocopiaran sólo patrones individuales, habría que le da un diámetro hacer 96 fotocopias para obtener la misma cantidad final aproximado de 55 cm.

Las [[Archivo:Rueda gigante de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 4. Rueda gigante hecha con esquineros de TetraPak&reg; con estructura de prisma recto octogonal.'''</center></small>]]Los cuerpos más fáciles de armar con esta técnica son aquellos cuyos angulos poliedros (los que forman las caras en cada vértice) son congruentes (superponibles por traslaciones, rotaciones y, eventualmente, reflexiones). Esto equivale a decir que los esquineros son todos idénticos, ya que pueden armarse con cualquiera de sus 2 superficies hacia el interior, lo que equivale a una reflexión. La condición de congruencia parece forzada, pero esto proviene de una pobre comprensión de lo que es un sólido regular o semirregular. Los sólidos platónicos son frecuentemente considerados como los únicos cuyas caras son polígonos regulares idénticos, lo que es falso, ya que a esa condición hay la de congruencia. Por ejemplo, hay 8 poliedros diferentes cuyas caras son todas triángulos equiláteros, denominados [http://es.wikipedia.org/wiki/Deltaedro deltaedros]. De ellos sólo 2 tienen todos sus ángulos poliedros congruentes: el tetraedro regular, poliedros convexosel octaedro regular y el icosaedro regular, los 3 sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros. De especial interés en la construcción de modelos a escala son los prismas rectos cuyas caras pueden o no ser polígonos regulares . Muchos de estos poliedros también tienen la propiedad de tener esquineros idénticos , como se ilustra con el caso de la rueda gigante de la Figura 4. Los esquineros del cubo (triángulos equiláterosvéase a pie de página) pero no cumplen permiten construir cubículos muy variados cuyas caras son rectángulos que pueden tener cualquier proporción deseada. En la condición tabla inferior se dan los datos necesarios para construir los esquineros de todos los sólidos platónicos y algunos de los arquimedeanos. Algunos de sus patrones se dan al pie de página, quedando los restantes como ejercicio para el lector. <br>{| align=center border=1 cellspacing=1 cellpadding=5 bgcolor= !Poliedro !!Imagen !! Vértices !!Aristas !!Angulos poliedros|-|tetraedro ||[[Archivo:Tetraedro transparente.jpg|center]] ||align=center|4 ||align=center|6 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|cubo ||align=center|[[Archivo:Cubo transparente.jpg|center]] ||align=center|8 ||align=center|12 ||align=center|90&deg;; 90&deg;; 90&deg;|-|octaedro ||align=center|[[Archivo:Octaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|6 ||align=center|12 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|icosaedro ||align=center|[[Archivo:Icosaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center|30 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|dodecaedro ||align=center|[[Archivo:Dodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|20 ||align=center|30 ||align=center|108&deg;; 108&deg;; 108&deg;|-|cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center| 24||align=center|60&deg;; 90&deg;; 60&deg;; 90&deg;|-|rombicuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Rombicuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|48 ||align=center|60&deg;; 90&deg;; 90&deg;; 90&deg;|-|octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Octaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|36 ||align=center|90&deg;; 120&deg;; 120&deg;|-|icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|30 ||align=center|60 ||align=center|60&deg;; 108&deg;; 60&deg;; 108&deg;|-|icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|60 ||align=center|90 ||align=center|108&deg;; 120&deg;; 120&deg;|-|colspan=5 align=center|<small>'''Tabla 1. Datos de los sólidos platónicos y algunos arquimedeanos.'''</small>|}<br><!-- transparente. Dibujo y archivo de C. E. Solivérez.  [[Categoría:Matemática]]---> ==Etapas del armado de una estructura==[[Archivo:Icosaedro truncado de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 5. Icosaedro truncado<br>hecho con el método aquí descripto.'''</center></small>]]Como cualquier técnica, se requiere algo de práctica para llevarla a cabo bien. Se recomienda por eso comenzar armando una estructura con algunos de los patrones aquí dados, antes de congruencia intentar diseñar patrones nuevos. En el caso general, las etapas principales del armado de un poliedro son las siguientes: * Determine los ángulos poliedros que determinan internos de las aristas caras que confluyen tienen un vértice en todos común.* Cuente la cantidad de vértices de cada tipo diferente y use o diseñe el patrón correspondiente a cada uno .* Haga la cantidad necesaria de patrones de cada tipo y algunos más.* Seleccione la cantidad necesaria de varillas (N&ordm; de aristas) usando el calibre para verificar que todas tienen el mismo diámetro.* Determine la longitud de varilla apropiada para la estructura.* Corte todas las varillas de la misma longitud, redondeando sus extremos.* Recorte los patrones unos milímetros por fuera de su borde.* Pegue los vérticespatrones con unos pocos toques de adhesivo sólido sobre el lado del esquinero que quedará en el interior.* Recorte luego cuidadosamente con tijera por las líneas continuas exteriores. Respete el receso de la pestaña.* Corte los ojales con un sacabocados de diámetro levemente superior al de las varillas. * Despegue los patrones.* Abroche los esquineros.* Forme las presillas de los esquineros, eliminando las arrugas.* Arme el cuerpo completando un ángulo poliedro por vez. ==Esquineros selectos==<center><Gallery widths=200 heights=200 perrow=4>Archivo:Esquinero tetraedro.jpg|<small><center>'''Tetraedro.Archivo:Esquinero cubo.jpg|<small><center>'''Cubo.Archivo:Esquinero octaedro.jpg|<small><center>'''Octaedro.Archivo:Esquinero icosaedro.jpg|<small><center>'''Icosaedro.Archivo:Esquinero dodecaedro.jpg|<small><center>'''Dodecaedro.Archivo:Esquinero octaedro truncado.jpg|<small><center>'''Octaedro truncado.Archivo:Esquinero rombicuboctaedro.jpg|<small><center>'''Rombicuboctaedro.Archivo:Esquinero icosaedro truncado.jpg|<small><center>'''Icosaedro truncado.</Gallery></center>[[Archivo:Esquineros rombicuboctaedro hoja legal.jpg|1000px|center|thumb|<small><center>'''Hoja tamaño oficio de esquineros del rombicuboctaedro.'''</center></small>]][[Archivo:Esquineros del icosaedro truncado hoja legal.jpg|1000px|center|thumb|<small><center>'''Hoja tamaño legal de esquineros del icosaedro truncado.'''</center></small>]]