[[Archivo:Rombicuboctaedro de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 1. Pantalla de lámpara con estructura de<br> rombicuboctaedro hecha con esquineros.'''</center></small>]]
Se explica aquí '''cómo armar poliedros''' con varillas y esquineros, [[técnica]] que tiene al menos 2 funciones importantes. La primera es facilitar la asimilación del importante concepto abstracto de [[estructura]] mediante su realización concreta en el caso geométrico de los poliedros, donde los elementos son las aristas (varillas) y las relaciones son los ángulos entre aristas (determinados por los ojales de los esquineros que las sujetan) y las distancias entre vértices (dados por la longitud de las varillas). La segunda aplicación es permitir al docente disponer de conjuntos de cuerpos fácilmente transportables sin el riesgo de rotura de los hechos de otros modos. Se explican aquí todos los pasos a seguir para la construcción de cualquier poliedro —regular o no, convexo o no— y se dan sugerencias sobre materiales que pueden usarse en la tarea, incluyendo algunos reciclados. Se dan los esquineros que permiten la construcción de los 5 sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) y de algunos de los bellos [[poliedros arquimedianos]], como el ilustrado en la Figura 1. En estas categorías de poliedros, para los cuales los esquineros son todos similares y las varillas tienen todas la misma longitud, se obtiene al mismo tiempo una prueba constructiva de que están unívocamente determinados por los ángulos poliedros y la longitud de arista, concepto geométrico conceptos geométricos de gran valor práctico.
==Materiales, útiles, técnicas e información requeridas==
* Materiales
** esquineros: envases TetraPak® reciclados o tapas de fotocopias anilladas en desuso o cartulina gruesa preferentemente semigruesa plastificada.
** aristas: varillas para brochettes de buena calidad o varillas de madera torneada.
** adhesivo en barra.
** calibre;
** tijera;
** trincheta ("cúter");
** sacabocados del diámetro (holgado) de las varillas a usar;
** abrochadora.
* Información
** propiedades geométricas del poliedros a armar: Nº de vértices y aristas, ángulos poliedros en cada vértice;** patrones de los esquineros requeridos para el poliedro a construir.
* Técnicas
** corte con trincheta ("cúter");** troquelado con sacabocadosacabocados;
** abrochado con abrochadora;
** [[Cómo medir diámetros|medición de diámetros]] de varillas con calibre;
** medición de ángulos con transportador (sólo para hacer los patrones de esquineros no provistos dados aquí).
==Método de construcción y recomendaciones==
l El método de construcción es la unión de varillas de madera (las aristas del poliedro) con esquineros que las sujetan para formar el ángulo poliedro correcto en cada vértice. Conviene Para las varillas conviene usar palitos de brochette como varillas, que tienen usualmente unos 4 mm de diámetro y 24 cm de longitud y son de bajo costo y gran dureza, aunque a veces se rajan. Sin embargoLas de baja calidad no son recomendables porque suelen ser torcidas, no cualquier tipo es apropiado y debe verificarse que su de superficie sea lisa rugosa y que sus de diámetros sean no uniformes. Pueden usarse varillas de madera torneada, usualmente disponibles en comercios de productos de madera, pero son mucho más caras y usualmente menos resistentes. Los palitos deben recortarse del largo apropiado al tamaño final del cuerpo que se quiere construir, el valor del diámetro de la esfera ''D'' que circunscribe los sólidos regulares y semirregulares. Pueden usarse enteros para los poliedros regulares y partidos por la mitad para los [[poliedros arquimedianos |arquimedianos]], donde podrían obtenerse cuerpos demasiado grandes y pesados.
Los esquineros delimitan los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que Las varillas deben ser capaces de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez) y sostener sin desgarrarse las varillas recortarse del largo ''a'' apropiado al tamaño final del cuerpo que atraviesan sus ojalesse quiere construir. El material más barato Para los sólidos regulares y semirregulares este largo puede obtenerse a partir del valor del diámetro de la esfera ''D'' que cumple estas condiciones es el laminado usado en los envases TetraPak®circunscribe. Es más resistente y Por ejemplo, si se quiere construir la estructura de mejor presentación el material una pelota clásica de con que se hacen las tapas fútbol ([[poliedros arquimedianos|icosaedro truncado]]) de documentos fotocopiados y anilladosun tamaño comparable a la verdadera (unos 22 cm) el valor es ''D''=5''a''. Las tapas Esto da para ''a'' un valor de cuadernosunos 4, otro material reciclable8 cm. La de la Figura 4 se construyó con varillas de 23 cm, suelen ser demasiado gruesasresultando de una diámetro final de 1, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general15 m.
En Los esquineros delimitan los poliedros convexos regulares y arquimedianos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de 3 a 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es , por lo que en estos poliedros el menor ángulo interno deben ser capaces de una cara es 60° conservar bien su forma (triángulo equiláterotener suficiente rigidez), y sostener sin desgarrarse las varillas que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es el número mínimo de caras laminado usado en un vértice es 3 (los envases TetraPak®. Es más resistente y de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en mejor presentación el mismo vértice para material con que el ángulo poliedro no sea plano (se hacen las suma tapas de los ángulos internos documentos fotocopiados y anillados. Las tapas de las caras en el vértice común debe cuaderno, otro material reciclable, suelen ser menor de 360°)demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general.
En los poliedros convexos regulares y arquimedianos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de por lo menos 3 y no más de 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno de una cara es 60° (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en un vértice es 3 (de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (la suma de los ángulos internos de las caras en el vértice común debe ser menor de 360°). [[Archivo:Esquinero generico.jpg|200px|right|thumb|<small><center>'''Figura 32. Patrón genérico de esquinero para un triedro.'''</center></small>]]En cada vértice los ángulos entre aristas son los ángulos internos de las caras (polígonos regulares) que confluyen allí. El patrón general de un esquinero con tres aristas (triedro) es el de la Figura 32. La zona más oscura es la pestaña que permite fijar el borde opuesto por superposición y abrochado. Los cortes deben efectuarse por las líneas continuas con tijera (los bordes) y sacabocados (los círculos). Se facilita el abrochado de la pestaña si se dobla levemente la esquina contigua a la pestaña señalada con un punto en la Figura 32. Éste sirve de tope para sujetar el borde cuando se lo abrocha con la otra mano de modo que tape exactamente la pestaña. Si el material ha sido bien elegido no es necesario reforzar esta unión usando cemento de contacto o cola vinílica.
Los dobleces, marcados con líneas de trazos, corresponden a la posición de las varillas. Los ángulos α, β y
y hay tantos dobleces como aristas: 3. Aunque los ejemplos dados más abajo corresponden a poliedros regulares o arquimedianos, ''mutatis mutandi'' (con las modificaciones que correspondan) el método permite construir los esquineros para cualquier poliedro. La Figura 4 muestra los patrones correspondientes a todos los sólidos platónicos y algunos de los poliedros arquimedianos. Allí se denomina, por simplicidad, "farol" al rombicuboctaedro y "pelota" al icosaedro truncado.
[[Archivo:Esquineros con varillas.jpg|left|thumb|<small><center>'''Figura 53. Varilla insertada en esquinero.'''</center></small>]]
Un problema frecuente con los palitos de brochette —especialmente con los más baratos— es que en un mismo paquete suelen tener varios diámetros diferentes. Seleccione y use sólo los de un mismo diámetro, que debe usar para hacer las plantillas o patrones que servirán de guía para el corte de los esquineros. Como guía para todos los cortes y dobleces se usan fotocopias del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido (no use otro, pues se busca poca adherencia) sobre la cara menos linda de la lámina. Una vez finalizados los cortes y hechos los dobleces (que conviene planchar con algún objeto suave, como el cuerpo de una lapicera), el papel puede sacarse facilmente de la superficie plastificada, humedeciendo el papel cuando sea necesario. Para obtener con facilidad los patrones necesarios, haga una fotocopia con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar. Al final de esta guía encontrará algunos ejemplos.
el que debe usar para cortar los ojales indicados con círculos la Figura 32.Las aberturas circulares se troquelan de diámetro levemente superior al de las varillas, lo que puede hacerse con poco esfuerzo con un sacabocados. Las varillas se hacen pasar a través de ellas como se muestra en la Figura 4. El material del esquinero no debe ser demasiado grueso para poder formar en su interior la presilla que sujeta a la varilla. Esto se ilustra en esta figura, donde la fotografía de la izquierda muestra la parte interior del esquinero (cara cóncava) y la derecha la exterior (cara convexa). De este modo el doblez hecho por la línea de trazos soporta la mayor parte de la varilla, mientras que la mayor deformación se localiza en la pequeña parte de la presilla, donde el riesgo de rotura es máximo.
Las estructuras construidas de esta manera, aunque sólo soportan su propio peso, permiten obtener formas muy variadas con mínimo gasto en materiales. Se requiere, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los esquineros apropiados para cada vértice, cortar las varillas a la longitud apropiada y aguzarlas para facilitar su colocación.
Las caras de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Deltaedro deltaedros], poliedros convexos, son todos polígonos regulares idénticos (triángulos equiláteros) pero no cumplen la condición de congruencia de los ángulos poliedros que determinan las aristas que confluyen en todos y cada uno de los vértices.
La Figura 5 3 es la fotografía de un icosaedro truncado (estructura de la pelota de fútbol olímpica) armada con varillas de brochettes de 12 cm de largo, lo que le da un diámetro final aproximado de 55 cm.
==Impresión de patrones==
==Etapas del armado de una estructura==
[[Archivo:Icosaedro truncado de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 24. Icosaedro truncado<br>hecho con el método aquí descripto.'''</center></small>]]
EEl siguiente es un resumen de las principales etapas del armado: