Se explica aquí '''cómo armar poliedros''' con varillas y esquineros, [[técnica]] que tiene al menos 2 funciones importantes. La primera es facilitar la asimilación del importante concepto abstracto de [[estructura]] mediante su realización concreta en el caso geométrico de los poliedros, donde los elementos son las aristas (varillas) y las relaciones son los ángulos entre aristas (determinados por los ojales de los esquineros que las sujetan) y las distancias entre vértices (dados por la longitud de las varillas). La segunda aplicación es permitir al docente disponer de conjuntos de cuerpos fácilmente transportables sin el riesgo de rotura de los hechos de otros modos. Se explican aquí todos los pasos a seguir para la construcción de cualquier poliedro —regular —regular o no, convexo o no— no— y se dan sugerencias sobre materiales que pueden usarse en la tarea, incluyendo algunos reciclados. Se dan los esquineros que permiten la construcción de los 5 sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro) y de algunos de los bellos [[poliedros arquimedianosarquimedeanos]], como el ilustrado en la Figura 1. En estas categorías de poliedros, para los cuales los esquineros son todos similares y las varillas tienen todas la misma longitud, se obtiene al mismo tiempo una prueba constructiva de que están unívocamente determinados por los ángulos poliedros y la longitud de arista, conceptos geométricos de valor práctico.

** adhesivo en barra** 1 hoja de papel de lija Nº 120.

** abrochadorachica.

Las varillas deben recortarse de una longitud ''a'' apropiada al tamaño final del cuerpo que se quiere construir. Para los sólidos regulares y semirregulares este largo puede obtenerse a partir del valor del diámetro de la esfera ''D'' que los circunscribe, valor dado en la Tabla 1 y la del artículo [[poliedros arquimedianosarquimedeanos]]. Por ejemplo, si se quiere construir la estructura de una pelota clásica de fútbol ([[poliedros arquimedianosarquimedeanos|icosaedro truncado]]) de un tamaño comparable a la verdadera (unos 22 cm) el valor es ''D''=5''a''. Esto da para ''a'' un valor de unos 4,8 cm. La de la Figura 5 se construyó con varillas de 12 cm, resultando de una un diámetro final de 57,5 cm.

Los esquineros delimitan los ángulos poliedros en cada vértice, por lo que deben ser capaces de conservar bien su forma (tener suficiente rigidez) , así como sostener con firmeza y sostener sin desgarrarse las varillas que atraviesan sus ojales. El material más barato que cumple estas condiciones es el laminado usado en los envases TetraPak®. Es más resistente y de mejor presentación el material con que se hacen las tapas de documentos fotocopiados y anillados. Las tapas de cuaderno, otro material reciclable, suelen ser demasiado gruesas, poco flexibles y fácilmente desgarrables, aunque ésto no es regla general.

En los poliedros convexos regulares y arquimedianos arquimedeanos (ver Tabla 1) las aristas determinan ángulos poliedros por confluencia de por lo menos 3 y no más de 5 caras en cada vértice. La razón de esta limitación es que en estos poliedros el menor ángulo interno de una cara es 60° (triángulo equilátero), el número mínimo de caras en un vértice es 3 (de lo contrario se delimita un plano, no un volumen) y pueden haber a lo sumo 5 triángulos equiláteros concurrentes en el mismo vértice para que el ángulo poliedro no sea plano (la suma de los ángulos internos de las caras en el vértice común debe ser menor de 360°).

En cada vértice los ángulos entre aristas son los ángulos internos de las caras que concurren allí. El patrón general de un esquinero con tres aristas (triedro) es el de la Figura 2, fácilmente extensible a los de 4 y 5 aristas. La zona más oscura es la pestaña que permite fijar el borde opuesto por superposición y abrochado; es decir, debe quedar exactamente cubierta por el borde opuesto de la abertura. Los cortes deben efectuarse por las líneas continuas: con tijera por los bordes externos y con sacabocados para los ojales (los círculos blancos) por donde pasan las varillas. Se facilita el abrochado de la pestaña si se dobla levemente la esquina contigua a la pestaña señalada con un punto en la Figura 2. Éste sirve de tope al borde que se superpone cuando se lo abrocha para que tape exactamente la pestaña. Si el material ha sido bien elegido y el abrochado es bien hecho, no es necesario reforzar esta unión usando . Cuando sea indispensable hacerlo, use cemento de contacto o cola vinílica (no use ; la resina epoxi o el cianoacrilato, no brindan tienen buena adhesión en los materiales propuestos).

Ésto no siempre es posible, como en la estructura de la Figura 4, caso en que debe usarse esta libertad de elección. En base a consideraciones similares es fácil diseñar un esquinero para cualquier vértice, trátese o no de un poliedro convexo o regular, teniendo en cuenta que deben haber tantos dobleces y pares de ojales como aristas convergen en el vértice. Si la cara es un polígono regular de ''n'' lados, sus ángulos internos son todos iguales y valen α = (''n'' – 2)·180°/''n''. Por ejemplo, el esquinero correspondiente a un cubo (exaedrolas caras son cuadrados con ''n''=4) tiene los siguientes ángulos:

y hay tantos dobleces como aristas: , 3. Aunque los ejemplos dados más adelante corresponden a poliedros regulares o arquimedianosarquimedeanos, con las modificaciones que correspondan el método permite construir esquineros para cualquier poliedro. La diferencia principal del caso general con los poliedros regulares y semirregulares es que en los últimos los esquineros son todos similares, mientras que en los primeros hay que hacer uno diferente para cada vértice. En la sección '''Esquineros selectos''' se dan los patrones correspondientes a todos los sólidos platónicos y algunos de los poliedros arquimedianosarquimedeanos.

Como guía para todos los cortes y dobleces se usan fotocopias del patrón pegadas con unos pocos toques de adhesivo sólido (no use otro, pues se busca poca adherencia) sobre la cara del material que no será visible cuando el poliedro esté terminado. Para obtener con facilidad [[eficiencia]] todos los necesarios, haga fotocopias con tantos ejemplares del patrón como esquineros se quieren cortar, cantidad igual al número de vértices del poliedro. Una En la siguiente sección se da una técnica para lograr fácilmente ésto se da en la sección siguienteeficientemente.

Los ojales circulares, por donde se pasarán las varillas del modo ilustrado en la Figura 3, deben troquelarse con un sacabocados de diámetro levemente superior al de las varillas. Pruebe con un esquinero armado, si cuesta mucho introducir la varilla, aumente el diámetro de los agujeros a la medida siguiente, verificando que no se suelte. La razón principal por la que el material del esquinero no debe ser demasiado grueso es que debe facilitarse facilitar la formación en su interior de la presilla que sujeta a la varilla. Esto se ilustra en dicha figura, donde la fotografía de la izquierda muestra la parte interior del esquinero (cara cóncava) y la derecha la exterior (cara convexa). De este modo las varillas concurren en el vértice por la parte interior del esquieroesquinero. La mayor deformación se localiza en los ojales, donde el riesgo de rotura es máximo. Para evitar esta rotura es que los ojales se hacen circulares en vez de cuadrados (, caso en que los desgarramientos de sus esquinas serían frecuentes).

Una vez finalizados el abrochado y los cortes, debe eliminarse completamente de los esquineros el papel con los patrones, humedeciéndolo si es necesario. Los ojales deben conformarse previamente al armado final, usando una varilla. Para terminar prolijamente esta tarea conviene "planchar" la zona contigua a los ojales con algún objeto suave, como el cuerpo/tapa de un bolígrafo o marcador, de modo de eliminar las inevitables arrugas del material. Se fijan entonces los esquineros con la abrochadora, cuidando de tapar exactamente la pestaña, que debe quedar del lado interior (cóncavo) del esquinero.

Ya Una vez armados todos los esquineros (el orden es aquí indiferente y esta etapa podría ser anterior o hecha [[tareas en serie y en paralelo|en paralelo]], simultáneamente) hay que verificar que cortar, con trincheta, todas las varillas tengan de la misma longitud y redondear su sus extremos para facilitar su la introducción. Conviene hacer ésto con ayuda de un sacapuntas (no hay que afilarlos, sólo redondear levemente los extremos) y retocar con un poco de papel de lija mediano, Nº 120 o similar. Se introducen luego ordenadamente las varillas en los esquineros, verificando con la imagen del poliedro la correcta formación de las caras. Los dos errores más comunes de esta etapa de armado final son de orientación del esquinero. Estos errores pueden suceder de 2 modos diferentes: cuando se orienta un esquinero hacia afuera de lo que será la estructura final, violando la condición de poliedro convexo; cuando, por ejemplo, en un icosaedro truncado se delimita una cara pentagonal con un ángulo interno que corresponde a una exagonal.

Las estructuras construidas por este método, aunque sólo soportan su propio peso, permiten obtener brindan formas muy variadas con mínimo gasto en materiales. Un ejemplo de esta variedad es la rueda gigante que se ilustra en la Figura 4, construida en base a la estructura de un prisma recto de base octogonal. Se requieren, eso sí, paciencia y prolijidad para fabricar bien los esquineros apropiados para cada vértice y conformar bien las varillas. Cuando no se las usa, estas estructuras pueden desarmarse y guardarse ocupando un volumen muy reducido, lo que es muy práctico. Sólo deben pegarse las varillas a los esquineros cuando se quiere una estructura permanente que no se deforme, lo que puede suceder cuando se las manipula con frecuencia.

* Se fotocopian luego 3 de los 4 ejemplares patrones que ya se tienen , formando una línea, como en las 2 hojas al final del artículo (3 fotocopias; 8 7 ejemplares).* En la siguiente etapa se pueden fotocopiar 2 líneas completas y en la subsiguiente, 4, hasta el con lo que en la fotocopia subsiguiente se llega al límite del tamaño de la hoja. Una (6 fotocopias; 25 patrones), ya que una hoja de formato legal (21,5 ·35 cm·35,6  cm), la mayor fácil de las fáciles de conseguir, puede contener 24 18 patrones.* De allí en más se fotocopian hojas completas, tantas como sean necesarias y algunas más para reemplazo en caso de error.

La técnica es muy eficiente en disminuir el número de fotocopias. Para hacer los patrones de los 90 esquineros necesarios para la estructura de la pelota de fútbol, se requieren sólo 7 10 fotocopias sucesivas y sobran algunos 7 patrones de reemplazo. Si se tiene una PC, un digitalizador y un programa de procesamiento de gráficos, se puede armar la hoja completa de patrones de una sola vez, lo cual reduce el número de fotocopias a hacer a sólo 16. Si, en cambio, se fotocopiaran sólo patrones individuales, habría que hacer 96 fotocopias para obtener la misma cantidad final.

[[Archivo:Rueda gigante de esquineros.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 4. Rueda gigante hecha con esquineros en base a una de TetraPak&reg; con estructura de prisma recto octogonal.'''</center></small>]]Las Los cuerpos más fáciles de armar con esta técnica son aquellos cuyos angulos poliedros (los que forman las caras en cada vértice) son congruentes (superponibles por traslaciones, rotaciones y, eventualmente, reflexiones). Esto equivale a decir que los esquineros son todos idénticos, ya que pueden armarse con cualquiera de sus 2 superficies hacia el interior, lo que equivale a una reflexión. La condición de congruencia parece forzada, pero esto proviene de una pobre comprensión de lo que es un sólido regular o semirregular. Los sólidos platónicos son frecuentemente considerados como los únicos cuyas caras son polígonos regulares idénticos, lo que es falso, ya que a esa condición hay la de congruencia. Por ejemplo, hay 8 poliedros diferentes cuyas caras son todas triángulos equiláteros, denominados [http://es.wikipedia.org/wiki/Deltaedro deltaedros]. De ellos sólo 2 tienen todos sus ángulos poliedros congruentes: el tetraedro regular, poliedros convexosel octaedro regular y el icosaedro regular, los 3 sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros. De especial interés en la construcción de modelos a escala son los prismas rectos cuyas caras pueden o no ser polígonos regulares . Muchos de estos poliedros también tienen la propiedad de tener esquineros idénticos , como se ilustra con el caso de la rueda gigante de la Figura 4. Los esquineros del cubo (triángulos equiláterosvéase a pie de página) pero no cumplen permiten construir cubículos muy variados cuyas caras son rectángulos que pueden tener cualquier proporción deseada. En la condición tabla inferior se dan los datos necesarios para construir los esquineros de todos los sólidos platónicos y algunos de los arquimedeanos. Algunos de congruencia sus patrones se dan al pie de página, quedando los ángulos restantes como ejercicio para el lector. <br>{| align=center border=1 cellspacing=1 cellpadding=5 bgcolor= !Poliedro !!Imagen !! Vértices !!Aristas !!Angulos poliedros que determinan las aristas que confluyen en todos |-|tetraedro ||[[Archivo:Tetraedro transparente.jpg|center]] ||align=center|4 ||align=center|6 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|cubo ||align=center|[[Archivo:Cubo transparente.jpg|center]] ||align=center|8 ||align=center|12 ||align=center|90&deg;; 90&deg;; 90&deg;|-|octaedro ||align=center|[[Archivo:Octaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|6 ||align=center|12 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|icosaedro ||align=center|[[Archivo:Icosaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center|30 ||align=center|60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;; 60&deg;|-|dodecaedro ||align=center|[[Archivo:Dodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|20 ||align=center|30 ||align=center|108&deg;; 108&deg;; 108&deg;|-|cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|12 ||align=center| 24||align=center|60&deg;; 90&deg;; 60&deg;; 90&deg;|-|rombicuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Rombicuboctaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|48 ||align=center|60&deg;; 90&deg;; 90&deg;; 90&deg;|-|octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Octaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|24 ||align=center|36 ||align=center|90&deg;; 120&deg;; 120&deg;|-|icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecaedro transparente.jpg|center]] ||align=center|30 ||align=center|60 ||align=center|60&deg;; 108&deg;; 60&deg;; 108&deg;|-|icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado transparente.jpg|center]] ||align=center|60 ||align=center|90 ||align=center|108&deg;; 120&deg;; 120&deg;|-|colspan=5 align=center|<small>'''Tabla 1. Datos de los sólidos platónicos y algunos arquimedeanos.'''</small>|}<br><!-- transparente. Dibujo y cada uno archivo de los vérticesC. E. Solivérez.  [[Categoría:Matemática]]--->

EEl siguiente es un resumen Como cualquier técnica, se requiere algo de práctica para llevarla a cabo bien. Se recomienda por eso comenzar armando una estructura con algunos de los patrones aquí dados, antes de intentar diseñar patrones nuevos. En el caso general, las etapas principales etapas del armadode un poliedro son las siguientes:

* Comienza armando una estructura Determine los ángulos internos de patrón conocido, antes de intentar diseñar patrones nuevoslas caras que tienen un vértice en común.* Cuenta Cuente la cantidad de vértices de cada tipo diferente y diseña use o diseñe el patrón correspondiente a cada uno.* Para diseñar el patrón debes conocer primero los ángulos internos Haga la cantidad necesaria de patrones de las caras que tienen ese vértice en comúncada tipo y algunos más. Si * Seleccione la cara es un polígono regular cantidad necesaria de n lados, sus ángulos internos son todos iguales y valen α = varillas (n – 2N&ordm; de aristas)·180°/nusando el calibre para verificar que todas tienen el mismo diámetro.* El esquinero del vértice debe tener tantos dobleces como caras confluyen en élDetermine la longitud de varilla apropiada para la estructura.* Haz solo 1 patrón Corte todas las varillas de cada tipo. Luego multiplícalos por fotocopiado o digitalización computada hasta tener la cantidad total necesaria y algunos másmisma longitud, para reponer cualquier roturaredondeando sus extremos.* Recorta Recorte los patrones unos milímetros por fuera de su borde. El corte por las líneas se hará cuando esté pegado.* Pega Pegue los patrones con unos pocos toques de adhesivo sólido sobre el lado no aluminizado de la lámina de TetraPak®, evitando hacerlo sobre un pliegue del envasesquinero que quedará en el interior. Recorta * Recorte luego cuidadosamente con tijera por las líneas continuas exteriores. Respeta Respete el receso de la pestaña.* Determina la longitud de varilla apropiada para la estructura. Selecciona la cantidad necesaria usando el calibre para verificar que todas tienen el mismo diámetro.* Usa Corte los ojales con un sacabocados del mismo de diámetro o levemente superior al de la varilla. Con un diámetro inferior, tendrás dificultades en la introducción de las varillas con riesgo de rotura del esquinero. Si el agujero es demasiado gran de, la varilla quedará suelta y la estructura se desarmará. Prueba con un esquinero armado, si cuesta mucho introducir la varilla, aumenta el diámetro de * Despegue los agujeros a la medida siguiente, verificando que no se sueltepatrones.* Pliega Abroche los esquineros por las líneas de trazos, asentando bien el doblez con un objeto redondeado y suave.* No comiences el abrochado Forme las presillas de los esquineros hasta que todos estén recortados, plegados: la pericia que brinda el trabajo repetitivo disminuye los errores y el tiempo de realización de eliminando las tareas. Retira el papel patrón antes de comenzar a abrochararrugas.* Se cortan las varillas de la misma longitud, es decir se la igualan a la varilla de menor longitud, afilando levemente las puntas con Arme el cuerpo completando un sacapuntas o una trincheta para facilitar su introducciónángulo poliedro por vez.