[[Archivo:Área círculo por polígonos.jpg|500px|right|thumb|<center>'''Figura 8. Octógono inscripto y circunscripto en una circunferencia. El área gris corresponde al defecto y la negra al exceso de cubrimiento.'''</center>]] Los matemáticos han desarrollado un método muy general para calcular el área encerrada por curvas cerradas expresables mediante funciones matemáticas. La más regular de todas estas curvas, en el sentido de que tiene la mayor cantidad de simetrías, es la circunferencia. El área de la superficie plana encerrada por una circunferencia (el círculo) se puede calcular cubriéndola con sectores circulares que pueden reordenarse para asemejarse a un rectángulo. Comenzamos, para aclarar ideas, con su cubrimiento con sólo 4 sectores circulares y luego dividimos cada uno de estos por 6 llevándolos a 24, como se muestra en la Figura 7. El cubrimiento es siempre perfecto cualquiera sea el número de sectores circulares usados, a diferencia de lo que sucedía en la Figura 4. La razón de aumentar su número es poder calcular su medida usando la fórmula básica del área del rectángulo. En efecto, cuanto más chicos son sean los sectores circulares más rectos se hacen harán los bordes y más tiende tenderá el “paralelogramo” a un rectángulo. Como usamos se usa la mitad de los bordes externos de los sectores para formar el lado superior y la otra mitad para formar el inferior, su longitud es la misma e igual a la mitad del perímetro ''L '' de la circunferencia. Los lados “verticales” opuestos, por su parte, tienen longitudes iguales al radio ''R '' de la circunferencia. Por lo tanto, cuando los sectores circulares se hacen muy muy pequeños, la figura tiende a un rectángulo cuya área vale ''A vale =R&middot;L/2''.La relación entre el perímetro ''L '' y el radio ''R '' de la circunferencia es ''L=2&pi;R'' donde p &pi;= 3,14159... Reemplazando este valor de ''L '' en la fórmula del área se obtiene el conocido valor ''A=&pi;R&sup2;''.

El antedicho proceso de cubrimiento recién descripto conduce al mismo resultado que la inscripción o circunscripción en la circunferencia de polígonos regulares con cantidad creciente de lados. El centro y los vértices del polígono determinan triángulos isósceles la longitud de cuya base se hace infinitesimal (tiende a cero). Este método general de calcular un área cualquiera usando elementos de cubrimiento cada vez menores, el llamamdo ''pasaje al límite infinitesimal'', ya fue usado por los geómetras griegos hace más de 2.000 años. El uso de elementos de área infinitesimales es el punto de partida del cálculo integral inventado por [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#Desarrollo_del_C.C3.A1lculo Isaac Newton ] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz#C.C3.A1lculo_infinitesimal Gottfried Leibniz ] hace casi 4 siglos, base imprescindible de la Física y las ingenierías actuales.