'''Cómo trazar una elipse''' describe una técnica simple para trazar una elipse de dimensiones prefijadas. Por su simplicidad puede usarse para hacer el marco de una fotografía, el tablero de una mesa o el trazado de un cantero de forma elipsoidal en jardinería (campo en que el método es conocido desde hace mucho tiempo). La técnica ilustra también que la definición de una curva como ''lugar geométrico'' facilita el desarrollo de un método práctico de trazado sin hacer uso de coordenadas cartesianas —la —la manera usual, pero más compleja.
El problema práctico aparece al querer trazar "óvalos", como los bordes de un portarretratos, donde las dimensiones requeridas son la altura ''v'' (la mayor dimensión en el caso de un retrato) y el ancho ''h'' (la menor, véase la Figura 1). Los [http://es.wikipedia.org/wiki/Óvalo ''óvalos''], especie de circunferencias achatadas, no son curvas matemáticamente bien definidas, ya que hay varias con este [[rasgo]] que no pueden diferenciarse unas de otras a simple vista. Aunque esta indeterminación no tiene importancia para el lego en Matemática, el desarrollo de una técnica de trazado requiere optar por una sola familia de curvas. Se eligen aquí las elipses, curvas que se obtiene al seccionar un cono con un plano y que también son las trayectorias que describen los planetas alrededor del sol.
Como se ilustra en la Figura 1, la forma de una elipse cualquiera queda completamente determinada por 2 longitudes diferentes denominadas sus ''semiejes''. En la Figura 1 el semieje mayor es la longitud del segmento ''a'' y el semieje menor la del segmento ''b''. Un rasgo importante de las elipses es que tienen 2 líneas perpendiculares de [[simetrías|simetría]] que pasan por su centro y contienen a sus semejes. El ovoide, sección de un huevo, sólo tiene 1. Otro rasgo característico de la familia de las elipses es que cuando sus 2 semiejes son iguales se obtiene una circunferencia. Se ve fácilmente en la figura que la altura ''v'' y el ancho ''h'' de la elipse valen
La Figura 1 contiene otros datos que serán necesarios para el trazado de la elipse cuando se caracterice la curva de manera matemáticamente precisa.
:''La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a 2 puntos fijos, sus focos, es constante.
En la Figura 2 se individualizan los focos , con los símbolos F<sub>1</sub> y F<sub>2</sub> , y las distancias del punto ''P'' a cada uno ellos. El concepto de foco tiene importantes aplicaciones científicas: por ejemplo, el sol está ubicado en uno de los foco de la elipse que traza la Tierra cuando gira a su alrededor. En la figura, la suma ''c'' de las distancias del punto ''P'' a los 2 focos es la siguiente suma de longitudes de segmentos:
[[Archivo:Elipse trazado lápiz.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 3. Trazado de una elipse con lápiz sobre papel.'''</center></small>]]
Esta suma tiene el mismo valor para cualquier punto ''P''; es decir, ''c'' es una longitud fija (''una constante'') característica de una elipse dada. También es una constante la distancia ''d'' entre sus focos. Ambas constantes, ''c'' y ''d'', definen completamente una única elipse.
[[Archivo:Elipse trazado lápiz.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Figura 3. Trazado de una elipse con lápiz.'''</center></small>]]Esta definición de elipse permite su trazado de modo muy simple. La constancia de la longitud ''c'' se obtiene con un cordel no elástico: una gomilla no serviría ya que puede variar su longitud al estirarse y contraerse. La posición de los 2 focos se obtiene con clavos fijados a una madera o estacas fijadas al suelo, según el tipo de forma elíptica a construir. La curva se obtiene deslizando sobre una superficie (papel, madera, piso...) un trazador (lápiz, tiza, palo...) a lo largo del cordel, cuyos extremos deben estar fijos a un par de clavos o estacas. El método se ilustra en la Figura 3.
Solo falta relacionar entre sí los 2 pares de datos requeridos para este trazado: la longitud ''c'' del cordel y la distancia ''d'' entre los focos con la altura ''v'' y el ancho ''h'' deseados para la elipse.
==Relaciones entre ''v'', ''h'', ''c'' y ''d''==
[[Archivo:Elipse alto.jpg|130px|left|thumb|<small><center>'''Figura 4. Relación entre ''v'' y ''c''.'''</center></small>]]Las relaciones entre ''v'', ''h'', ''c'' y ''d'' se pueden también encontrar usando a partir de la definición de la elipse como lugar geométrico. En la Figura 4 se muestra que para los puntos ''Q'' y ''R'' ubicados sobre la recta que contiene al semieje mayor ''a'' de la elipse (definido en la Figura 1), se cumple la siguiente igualdad de longitudes de segmentos:
[[Archivo:Elipse ancho.jpg|130px|right|thumb|<small><center>'''Figura 5. Relación entre ''h'' y ''d''.'''</center></small>]]
Es decir, la longitud ''c'' del cordel usado para el trazado debe ser igual a la altura ''v'' deseada para la elipse.
La separación ''d'' de los focos, la longitud ''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2<!-- La definición /sub> se ilustra en obtiene de la Figura 25, donde la suma de las distancia del el punto P ''S'' de la elipse a los dos focos es El método constructivo basado está sobre la recta que contiene al semieje menor ''b''. Esta recta divide al triángulo isósceles de vértices ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub> y ''S'', en esta definición consiste en clavar en una base dos clavitos en la posición triángulos rectángulos congruentes. Las longitudes de los focos y fijar a ellos un trozo 3 lados de piolín. Con la punta cualquiera de un lápiz se tensa estos triángulos, por ejemplo el ''F''<sub>1</sub>''OS'', cumplen el piolín y se trazan sobre la base los puntos Teorema de la elipse.Pitágoras:
Usualmente, como en el caso de la construcción de un portarretratos de centro oval, los datos que se tienen son la altura v y el ancho h de la elipse. A partir de estos datos (no damos los detalles) se puede demostrar que :<big>''SO''² + ''OF''<sub>1</sub>² = ''F''<sub>1</sub>''S''²</big>
:l = v y (2).donde
Basta:<big>''SO'' = ''h''/2, ''OF''<sub>1</sub> = ''d''/2 y ''F''<sub>1</sub>''S'' = ''c''/2.</big> Simplificando los denominadores, resulta :<big>''h''² + ''d''² = ''c''², o sea, ''d''² = ''c''² - ''h''².</big> Como ''c''= ''v'', se tiene entonces, colocar los clavitos con la separación que :<big>''d expresada en la ecuación '' = √(''v''² - ''h''²).</big> (2Ecuación 5), dar al piolín '''Para trazar una longitud igual a la elipse de altura ''v'' y ancho ''h'', para hay que con el lápiz podamos trazar la curva correspondienteusar un cordel de longitud ''v'' y separar sus 2 soportes a distancia ''d'' = √(''v''² - ''h''²). Si las cuentas fueron bien hechas''' Estas tres longitudes están relacionadas entre sí como los tres lados de un triángulo rectángulo, el óvalo resultante tendrá el ancho donde ''v'' es la diagonal y ''h deseado'', ''d'' los catetos, lo que permite obtenerlas gráficamente cuando no se tenga una calculadora que compute raíces cuadradas. Esta técnica ilustra la importancia del conocimiento de la Geometría (una ciencia) para la resolución de problemas prácticos. ==Ejemplo simple==Por ejemplo, para construir un óvalo una elipse de altura ''v '' = 10 15 cm y ancho ''h '' = 3 9 cm, la longitud del piolín debe ser l ''c'' = 10 15 cm y la separación entre clavitos ''d '' = 912 cm. El ejemplo se ha elegido aquí para que el resultado de la raíz sea un número entero,5 cmlo que en la práctica sucederá raras veces.--->
==Ecuación de las elipses en coordenadas cartesianas ortogonales==
Aunque no es necesaria para la técnica de trazado, se incluye aquí la expresión matemática de las elipses. Si ''x'' es la abcisa e ''y'' la ordenada, en el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales ''xy'' la ecuación de la elipse de semiejes ''a'' y ''b'' con centro en el origen es:
* Korn y Korn; ''Mathematical handbook for scientists and engineers''; McGraw-Hill; Nueva York (EEUU); 1961; p. 50. Se dan ecuaciones que describen gran cantidad de propiedades de las elipses en sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales.
* [http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse Elipse] en Wikipedia.
* [http://www.educatube.es/la-elipse/ La elipse]. Video ilustrativo del trazado de la elipse con la técnica descripta en este artículo, pero sin dar las relaciones que determinan la altura y ancho deseados.
* [http://www.youtube.com/watch?v=co7U0BfYvgQ How to draw an ellipse]. Video ilustrativo del trazado de una elipse punto a punto, mostrando lo engorroso de esta técnica.