Cambios

El problema práctico aparece al querer trazar "óvalos", como los bordes de un portarretratos, donde las dimensiones requeridas son la altura ''v'' (la mayor dimensión en el caso de un retrato) y el ancho ''h'' (la menor, véase la Figura 1). Los [http://es.wikipedia.org/wiki/Óvalo ''óvalos''], especie de circunferencias achatadas, no son curvas matemáticamente bien definidas, ya que hay varias con este [[rasgo]] que no pueden diferenciarse unas de otras a simple vista. Aunque esta indeterminación no tiene importancia para el lego en Matemática, el desarrollo de una técnica de trazado requiere optar por una sola familia de curvas. Se eligen aquí las elipses, curvas que se obtiene al seccionar un cono con un plano y que también son las trayectorias que describen los planetas alrededor del sol.

Como se ilustra en la Figura 1, la forma de una elipse cualquiera queda completamente determinada por 2 longitudes diferentes denominadas sus ''semiejes''. En la Figura 1 el semieje mayor es la longitud del segmento ''a'' y el semieje menor la del segmento ''b''. Un rasgo importante de las elipses es que tienen 2 líneas perpendiculares de [[simetrias|simetria]] que pasan por su centro y contienen a sus semiejes. Otro rasgo característico de la familia de las elipses es que cuando sus 2 semiejes son iguales se obtiene una circunferencia. Se ve fácilmente en la figura que la altura ''v'' y el ancho ''h'' de la elipse valen

La Figura 1 contiene otros datos que serán necesarios para el trazado de la elipse cuando se caracterice la curva de manera matemáticamente precisa.

:''La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a 2 puntos fijos, sus focos, es constante.

En la Figura 2 se individualizan los focos , con los símbolos F1 y F2 , y las distancias del punto ''P'' a cada uno ellos. El concepto de foco tiene importantes aplicaciones científicas: por ejemplo, el sol está ubicado en uno de los foco de la elipse que traza la Tierra cuando gira a su alrededor. En la figura, la suma ''c'' de las distancias del punto ''P'' a los 2 focos es la siguiente suma de longitudes de segmentos:

Esta suma tiene el mismo valor para cualquier punto ''P''; es decir, ''c'' es una longitud fija (''una constante'') característica de una elipse dada. También es una constante la distancia ''d'' entre sus focos. Ambas constantes, ''c'' y ''d'', definen completamente una única elipse.

Esta definición de elipse permite su trazado de modo muy simple. La constancia de la longitud ''c'' se obtiene con un cordel no elástico: una gomilla no serviría ya que puede variar su longitud al estirarse y contraerse. La posición de los 2 focos se obtiene con clavos fijados a una madera o estacas fijadas al suelo, según el tipo de forma elíptica a construir. La curva se obtiene deslizando sobre una superficie (papel, madera, piso...) un trazador (lápiz, tiza, palo...) a lo largo del cordel, cuyos extremos deben estar fijos a un par de clavos o estacas. El método se ilustra en la Figura 3.

Solo falta relacionar entre sí los 2 pares de datos requeridos para este trazado: la longitud ''c'' del cordel y la distancia ''d'' entre los focos con la altura ''v'' y el ancho ''h'' deseados para la elipse.

==Relaciones entre ''v'', ''h'', ''c'' y ''d''==

[[Archivo:Elipse alto.jpg|130px|left|thumb|<center>'''Figura 4. Relación entre ''v'' y ''c''.'''</center>]]

Las relaciones entre ''v'', ''h'', ''c'' y ''d'' se pueden también encontrar ~~usando~~ a partir de la definición de la elipse como lugar geométrico. En la Figura 4 se muestra que para los puntos ''Q'' y ''R'' ubicados sobre la recta que contiene al semieje mayor ''a'' de la elipse (definido en la Figura 1), se cumple la siguiente igualdad de longitudes de segmentos:

Por la simetría de la elipse, son iguales las longitudes de los siguientes segmentos:

que reemplazado en el primer miembro de la Ecuación 3 da

Es decir, la longitud ''c'' del cordel usado para el trazado debe ser igual a la altura ''v'' deseada para la elipse.

La separación ''d'' de los focos, la longitud ''F''1''F''2 se obtiene de la Figura 5, donde el punto ''S'' de la elipse está sobre la recta que contiene al semieje menor ''b''. Esta recta divide al triángulo isósceles de vértices F''1, F''2 y ''S'', en dos triángulos rectángulos congruentes. Las longitudes de los 3 lados de cualquiera de estos triángulos, por ejemplo el ''F''1''OS'', cumplen el Teorema de Pitágoras:

Como ''c''= ''v'', se tiene entonces que

'''Para trazar una elipse de altura ''v'' y ancho ''h'', hay que usar un cordel de longitud ''v'' y separar sus 2 soportes a distancia ''d'' = √(''v''² - ''h''²).''' Estas tres longitudes están relacionadas entre sí como los tres lados de un triángulo rectángulo, donde ''v'' es la diagonal y ''h'', ''d'' los catetos, lo que permite obtenerlas gráficamente cuando no se tenga una calculadora que dé compute raíces cuadradas. Esta técnica ilustra la importancia del conocimiento de la Geometría (una ciencia) para la resolución de problemas prácticos.

Por ejemplo, para construir una elipse de altura ''v'' = 15 cm y ancho ''h'' = 9 cm, la longitud del piolín debe ser ''c'' = 15 cm y la separación entre clavitos ''d'' = 12 cm. El ejemplo se ha elegido aquí para que el resultado de la raíz sea un número entero, lo que en la práctica sucederá raras veces.

Cómo trazar una elipse

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