Diferencia entre revisiones de «Poliedros arquimedeanos»
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| − | Los '''poliedros arquimedianos''' son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Los ''poliedros arquimedianos'' son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos con otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectos cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir estos prismas y antiprismas de la lista de ''poliedros arquimedianos''. Salvo el icosaedro truncado —que | + | Los '''poliedros arquimedianos''' son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Los ''poliedros arquimedianos'' son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos con otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectos cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir estos prismas y antiprismas de la lista de ''poliedros arquimedianos''. Salvo el icosaedro truncado y el rombicosidodecaedro —que tienen aplicaciones prácticas como cúpulas geodésicas y pelotas de fútbol— estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad. |
==Rasgos== | ==Rasgos== | ||
| + | En la tabla siguiente se dan algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En ''tipos de caras'' se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ''ángulos en vértices'' son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. ''D'' es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud ''a'' de las aristas. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en la sección siguiente. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las [[simetrías]] de cada poliedro. | ||
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| − | |Tetraedro truncado||[[Archivo:Truncatedtetrahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedtetrahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Tetraedro truncado||align=center|[[Archivo:Truncatedtetrahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedtetrahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|18 ||3·6·6 ||align=right|12 ||align=center| ||align=right|8 ||4 exágonos<br/>4 triángulos ||align=center|T<sub>d</sub> |
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| − | |Cuboctaedro ||[[Archivo:Cuboctahedron.jpg|60px]] | + | |Cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctahedron.jpg|60px]]<br>:[[Archivo:Cuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|24 ||3·4·3·4 ||align=right|12 ||align=center|2''a'' ||align=right|14 ||6 cuadrados<br>8 triángulos ||align=center|O<sub>h</sub> |
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| − | |Cubo truncado ||[[Archivo:Truncatedhexahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedhexahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Cubo truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedhexahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedhexahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|36 ||3·8·8 ||align=right|24 ||align=center| ||align=right|14 ||6 octógonos<br>8 triángulos ||align=center|O<sub>h</sub> |
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| − | |Octaedro truncado ||[[Archivo:Truncatedoctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedoctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedoctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedoctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|36 ||4·6·6 ||align=right|24 ||align=center| ||align=right|14 ||6 cuadrados<br>8 exágonos ||align=center|O<sub>h</sub> |
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| − | |Rombicuboctaedro<br/>o rombicuboctaedro menor ||[[Archivo:Rhombicuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Rombicuboctaedro<br/>o rombicuboctaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|48 ||3·4·4·4 ||align=right|24 ||align=center| ||align=right|26 || 8 triángulos<br>18 cuadrados ||align=center|O<sub>h</sub> |
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| − | | | + | |Cubo romo <br/>o cuboctaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubhexahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubhexahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|60 ||3·3·3·3·4 ||align=right|24 ||align=center| ||align=right|38 || 6 cuadrados<br>32 triángulos ||align=center|O |
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| − | | | + | |Icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Icosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|60 ||3·5·3·5 ||align=right|30 ||align=center| ||align=right|32 ||12 pentágonos<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> |
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| − | | | + | |Cuboctaedro truncado<br/>o rombicuboctaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|72 ||4·6·8<br> 4·8·6 ||align=right|48 ||align=center| ||align=right|26 || 6 octógonos<br> 8 exágonos<br>12 cuadrados ||align=center|O<sub>h</sub> |
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| − | |Dodecaedro truncado ||[[Archivo:Truncateddodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncateddodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Dodecaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncateddodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncateddodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|90 ||3·10·10 ||align=right|60 ||align=center| ||align=right|32 ||12 decágonos<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> |
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| − | |Icosaedro truncado ||[[Archivo:Icosaedro truncado.jpg| | + | |Icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado.jpg|150px]]<br/>[http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/f/f3/Icosaedro_truncado_animación.gif <small><center>'''Vea animación.'''</center></small>] ||align=right|90 ||5·6·6 ||align=right|60 ||align=center| [[Archivo:D icosaedro truncado.jpg]]||align=right|32 ||20 exágonos<br>12 pentágonos ||align=center|I<sub>h</sub> |
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| − | |Rombicosidodecaedro<br/>o rombicosidodecaedro menor ||[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Rombicosidodecaedro<br/>o rombicosidodecaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|120 ||3·4·5·4 ||align=right|60 ||align=center| ||align=right|62 ||12 pentágonos<br>30 cuadrados<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> |
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| − | | | + | |Dodecaedro romo<br/>o icosidodecaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubdodecahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubdodecahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|150 ||3·3·3·3·5 ||align=right|60 ||align=center| ||align=right|92 ||12 pentágonos<br>80 triángulos ||align=center|I |
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| − | | | + | |Icosidodecaedro truncado<br/>o rombicosidodecaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|180 ||4·6·10<br>4·10·6 ||align=right|120 ||align=center| ||align=right|62 ||12 decágonos<br>20 exágonos<br>30 cuadrados ||align=center|I<sub>h</sub> |
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Revisión del 11:17 11 feb 2012
Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos con otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectos cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir estos prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos. Salvo el icosaedro truncado y el rombicosidodecaedro —que tienen aplicaciones prácticas como cúpulas geodésicas y pelotas de fútbol— estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad.
Rasgos
En la tabla siguiente se dan algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en la sección siguiente. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro truncado | 60px : Archivo:Truncatedtetrahedron.gif |
18 | 3·6·6 | 12 | 8 | 4 exágonos 4 triángulos |
Td | |
| Cuboctaedro | 60px : Archivo:Cuboctahedron.gif |
24 | 3·4·3·4 | 12 | 2a | 14 | 6 cuadrados 8 triángulos |
Oh |
| Cubo truncado | 60px : Archivo:Truncatedhexahedron.gif |
36 | 3·8·8 | 24 | 14 | 6 octógonos 8 triángulos |
Oh | |
| Octaedro truncado | 60px : Archivo:Truncatedoctahedron.gif |
36 | 4·6·6 | 24 | 14 | 6 cuadrados 8 exágonos |
Oh | |
| Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor |
60px : Archivo:Rhombicuboctahedron.gif |
48 | 3·4·4·4 | 24 | 26 | 8 triángulos 18 cuadrados |
Oh | |
| Cubo romo o cuboctaedro romo (2 enantiomorfos) |
60px : Archivo:Snubhexahedronccw.gif 60px : Archivo:Snubhexahedroncw.gif |
60 | 3·3·3·3·4 | 24 | 38 | 6 cuadrados 32 triángulos |
O | |
| Icosidodecaedro | 60px : Archivo:Icosidodecahedron.gif |
60 | 3·5·3·5 | 30 | 32 | 12 pentágonos 20 triángulos |
Ih | |
| Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor |
60px : Archivo:Truncatedcuboctahedron.gif |
72 | 4·6·8 4·8·6 |
48 | 26 | 6 octógonos 8 exágonos 12 cuadrados |
Oh | |
| Dodecaedro truncado | 60px : Archivo:Truncateddodecahedron.gif |
90 | 3·10·10 | 60 | 32 | 12 decágonos 20 triángulos |
Ih | |
| Icosaedro truncado |  |
90 | 5·6·6 | 60 |  |
32 | 20 exágonos 12 pentágonos |
Ih |
| Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor |
60px : Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif |
120 | 3·4·5·4 | 60 | 62 | 12 pentágonos 30 cuadrados 20 triángulos |
Ih | |
| Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 enantiomorfos) |
60px : Archivo:Snubdodecahedronccw.gif 60px : Archivo:Snubdodecahedroncw.gif |
150 | 3·3·3·3·5 | 60 | 92 | 12 pentágonos 80 triángulos |
I | |
| Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor |
60px : Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif |
180 | 4·6·10 4·10·6 |
120 | 62 | 12 decágonos 20 exágonos 30 cuadrados |
Ih |
Fuentes
- Ghyka, Matila; Estética de las pentágonos regularesoporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95.
- Archimedean solid en Wikipedia en inglés.