Poliedros arquimedeanos

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Pantalla de lámpara con estructura de
rombicuboctaedro hecha con "esquineros".

Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Todos los vértices de un poliedro arquimediano son puntos de una única superficie esférica, en la cual está inscripto.

Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos. Salvo el icosaedro truncado y el rombicosidodecaedro —que tienen aplicaciones como cúpulas geodésicas, pelotas de fútbol y fullerenos— estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.

Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.

Por ser polígonos convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler[1]:

Nº de aristas + Nº de caras – Nº de vértices = 2,

como puede verificarse directamente de la tabla inferior.


Rasgos

La tabla de algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en la sección siguiente. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.


Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Tetraedro truncado Tetraedro truncado.jpg
Vea animación.
12 60° - 120° - 120° 18 √(11/2)a ≅ 2,3a 8 4 exágonos
4 triángulos
Td [2]
Cuboctaedro Cuboctaedro.jpg
Vea animación.
12 60° - 90° - 60° - 90° 24 2a 14 6 cuadrados
8 triángulos
Oh [3]
Cubo truncado 150px
24 60° - 135° - 135° 36 14 6 octógonos
8 triángulos
Oh
Octaedro truncado 150px
24 90° - 120° - 120° 36 14 6 cuadrados
8 exágonos
Oh
Rombicuboctaedro
o rombicuboctaedro menor
150px
24 60° - 90° -90° - 90° 48 26  8 triángulos
18 cuadrados
Oh
Cubo romo
o cuboctaedro romo
(2 enantiomorfos)
150px

150px
24 60° - 60° - 60° - 60° - 90° 60 38  6 cuadrados
32 triángulos
O
Icosidodecaedro 150px
30 60° - 108° - 60° - 108° 60 32 12 pentágonos
20 triángulos
Ih
Cuboctaedro truncado
o rombicuboctaedro mayor
150px
48 90° - 120° - 135°
o
90° - 135° - 120°
72 26  6 octógonos
 8 exágonos
12 cuadrados
Oh
Dodecaedro truncado 150px
60 60° - 144° - 144° 90 32 12 decágonos
20 triángulos
Ih
Icosaedro truncado Icosaedro truncado.jpg
Vea animación.
60 108° - 120° - 120° 90 D icosaedro truncado.jpg 32 20 exágonos
12 pentágonos
Ih [4]
Rombicosidodecaedro
o rombicosidodecaedro menor
150px
60 60° - 90° - 108° - 90° 120 62 12 pentágonos
30 cuadrados
20 triángulos
Ih
Dodecaedro romo
o icosidodecaedro romo
(2 enantiomorfos)
150px

150px
60 60° - 60° - 60° - 60° - 108° 150 92 12 pentágonos
80 triángulos
I
Icosidodecaedro truncado
o rombicosidodecaedro mayor
150px
120 90° - 120° - 144°
o
90° - 144° - 120°
180 62 12 decágonos
20 exágonos
30 cuadrados
Ih


Fuentes

  • Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95.
  • Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
  • Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.