Para definir con total precisión el área delimitada por una curva es necesario dar primero la descripción matemática de dicha curva a través del concepto de función y hacer su representación numérica en un sistema de coordenadas apropiado. En el sistema de coordenadas cartesianas de la Figura 10 la curva superior está definida por la función ''y''(''x''), cuyos valores para las abscisas indicadas es ''y''<sub>n</sub>=''y''(''x''<sub>n</sub>). Las unidades elementales elegidas para cubrir el área comprendida entre la curva superior ''y'' el eje ''x'' son rectángulos de base constante ''Δ''<sub>x</sub>'' y altura variable ''y''<sub>n</sub>. Estos rectángulos tienen lados paralelos a los ejes coordenados ''x'' e ''y'', y están asentados sobre el eje horizontal ''x''. El área ''A''<sub>6</sub> resultante del proceso de hacer tender a 0 el ancho de los rectángulos y a infinito su número, es la integral siguiente:
[[Archivo:Integral A6.jpg|130px|center]]
El símbolo ∫ representa la operación de suma. El símbolo ''dx'', introducido por Leibniz, indica el pasaje de ''Δ''<sub>x</sub>'' al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se vincula luego a un operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber(véase, por ejemplo, el libro de Rey Pastor y otros).
{||[[Archivo:Integral diferencia.jpg|500px|left|thumb|<center>'''Figura 11. El área del círculo es ''A''=''A''<sub>1</sub>–''A''<sub>2</sub>.'''</center>]]|Pareciera que el método no es apropiado para evaluar áreas de superficies cerradas arbitrarias, pero no es así. Cuando la región cuya área se quiere calcular no contiene el origen del sistema de coordenadas cartesianas, hay que descomponer el borde de la región (la curva ''y''(''x'')) en segmentos de modo tal que el área deseada pueda obtenerse por diferencia. Como la explicación escrita es más complicada que la visual, se remite al lector a la Figura 11 donde el área ''A'' deseada se calcula como la diferencia de áreas ''A''<sub>1</sub>–''A''<sub>2</sub>.[[Archivo:Integral polar.jpg|300px|right|thumb|}<center>'''Figura 12. Cubrimiento con sectores circulares.'''</center>]] También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada(véase Granville), como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 12. Estos sectores están determinados por su radio rnρ<sub>n</sub>, el ángulo polar qn θ<sub>n</sub> que éste determina con el eje horizontal y su apertura DqΔ<sub>θ</sub>, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 7. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías(véase Stratton).
[[Archivo:Integral doble.jpg|300px|left|thumb|<center>'''Figura 1213. Cubrimiento con sectores circularescuadraditos infinitesimales.'''</center>]]
[[Archivo:|300px||thumb|Las integrales simples anteriores dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados Δ''<centersub>x</sub>''y Δ''Figura 13<sub>y</sub>'' cuyas longitudes tienden a cero. Cubrimiento La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos infinitesimales.sino rectángulos cuyo ancho Δ''<sub>x</sub>''se hace tender a cero, pero cuya altura Δ''<sub>y</centersub>]]'' es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 13 son
Sin embargo, las antedichas integrales simples dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso de cubrimiento completo allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados ''Δ<sub>x</sub>'' y ''Δ<sub>y</subbr>'' cuyas longitudes tienden a cero[[Archivo:Integral doble simbólica. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho ''Δ<sub>x</sub>'' se hace tender a cero, pero cuya altura ''Δjpg|350px]]<subbr>y</sub>'' es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 13 son
El tercero y cuarto miembro de esta ecuación describen cómo estas integrales dobles se reducen a una sucesión de dos integrales simples. Cuando la curva que delimita la superficie es suficientemente “regular” (concepto que requiere una especificación matemática compleja) esta reducción puede hacerse indistintamente en cualquiera de los dos órdenes indicados.
El cálculo de áreas mediante integrales dobles puede hacer hacerse también en sistemas de coordenadas no cartesianas, como el de la Figura 12, pero este proceso no aporta conceptualmente nada nuevo.
==Conclusiones==
El concepto de área no surgió por capricho o vuelo de la imaginación sino por las necesidades prácticas de cuantificar cubrimientos de muy variado tipo, entre las que hoy podemos incluir algunas tridimensionales como las necesarias para la pintura de superficies no planas (caso de una cúpula). Ésto condujo naturalmente a la introducción de una unidad de superficie y de múltiplos y submúltiplos más apropiados para escalas mayores o menores que la original. La medida resultante (cantidad de unidades de referencia) es fácil de calcular cuando la unidad de cubrimiento es una forma regular simple como el rectángulo. Ésto no impide —de —de hecho es necesario en casos como el del círculo— círculo— el uso de unidades de cubrimiento de formas muy variadas cuya área, sin embargo, sigue calculándose cuantificándose en términos de cuadrados de tamaño apropiado (cm2cm², m2m², ha = hm2hm², km2km²...). Trabajar el concepto de área sólo para figuras regulares puede ayudar a desarrollar el concepto de medida, pero no basta para las aplicaciones prácticas, las únicas que motivan el uso del concepto. Es por ello necesario desarrollar la noción de cubrimiento desde el mismo comienzo de su estudio.
Cuando se tiene una superficie que no puede cubrirse de manera exacta con triángulos(la figura más pequeña para la que se tiene una fórmula simple), para obtener un cubrimiento (medida) perfecto es necesario recurrir a subunidades cada vez más pequeñas. La necesidad del pasaje al límite no es, por lo tanto, un artificio para la definición de integrales matemáticas sino un producto de la necesidad de hacer cubrimientos perfectos de superficies irregulares. Aunque desde el punto de vista práctico la precisión total no interesa, la Matemática la requiere de modo ineludible por razones que no es posible discutir aquí. Cuando se ilustra de modo apropiado, el concepto de pasaje al límite no es tan difícil como habitualmente se cree, aunque si lo es su definición matemática rigurosa(véase Klein, pp. 211‑220). Este concepto es imprescindible para el tratamiento matemático de cualquier tecnología compleja y debería ser trabajado, en etapas apropiadas, en las escuelas primarias (para la que el esbozo dado en la primera parte de este trabajo es suficiente) y secundarias (donde hay que desarrollar temas adicionales).
La construcción del concepto de área, desde su origen intuitivo en operaciones de cubrimiento hasta su rigurosa formulación matemática, requiere (como todos los saberes complejos) transitar un largo camino. La mente humana construye las estructuras complejas en etapas y niveles de agregación. La identificación de esas etapas, su jerarquización y la manera de construir estructuras mentales donde los conceptos más complejos están basados en la organización de otros más simples en estructuras de inclusión como las de las muñequitas rusas mamuschkas, son requisitos esenciales para el buen trabajo docente. Como para el recorrido de cualquier trayecto, no sólo hay que saber el punto de partida sino también el de llegada, aunque no todos lo completen llegando, como en este caso, al concepto de integral matemática.
* Julius Adams Stratton, Electromagnetic theory, McGraw Hill, New York (EE. UU.), 1941, pp. 47?59.
* Granville, op. cit., pp. 610?613.
* Felix Klein, Felix; ''Elementary Mathematics from an advanced standpoint: Arithmetic – Algebra – Analysis, ''; Edit. Dover, ; New York (EE. UU.EEUU), pp. 211?220.
* Se discute detalladamente el concepto de estructura y su uso en la enseñanza en el trabajo ''Desarrollo de software educativo mediante síntesis sistémica: escritura electrónica''.