# El número 1 no es el siguiente de ningún número natural.
# La serie de los números naturales incluye al número 1 y a los siguientes de todos los números naturales.
Estos axiomas, que en lo básico establecen el orden de los números naturales, presuponen el concepto de la operación de suma, concepto análogo al agregado de elementos a un conjunto que se discute en la sección [[#Grandor relativo de los cardinales|Grandor relativo de los cardinales]].
Cualquiera de las dos maneras de introducirlos es suficiente para fundamentar las operaciones con números naturales de modo tal que no conduzca a error o contradicción. Esta forma de dar origen a los números no tiene nada que ver con el origen cognitivo del concepto y su secuencia temporal de adquisición por una persona típica de alguna clase social de alguna cultura del planeta (proceso ''situado''). Es nada más y nada menos que un requisito para asegurar que no habrá violaciones de la Lógica Matemática, tema completamente diferente.
Los niños no ingresan a la escuela en la etapa inicial de su desarrollo cognitivo, sino en una en que los conceptos y operaciones que aquí se describen ya se han alcanzado y practicado, aunque por regla general con muy diferentes grados de refinamiento por una diferente intensidad de práctica. Entre los objetivos del docente no se cuentan el de investigar etapas de evolución cognitiva ni grados de rigor lógico de los conceptos que fundamentan las operaciones aritméticas. El objetivo es lograr que los niños las incorporen del modo más rápido posible y las lleven a cabo con el mínimo de errores posibles, poniendo a su alcance métodos simples de verificación de la corrección de sus resultados. La secuencia conceptual que aquí se presenta, puesta en práctica con didácticas adecuadas, puede ser un medio [[eficiencia|eficiente]] para el logro de este objetivo, aunque probablemente no sea el único viable.
Los números tienen dos [[rasgo]]s completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciar: el cardinal y el ordinal. La combinación de estos rasgos, y otros más, como las con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a la cuantificación de magnitudes como longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más.
El objetivo de este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales. En lo que sigue se discuten los rasgos cardinal y ordinal de los números, base de las operaciones más básicas que se pueden hacer con los números naturales: sumarlos y restarlos. En todos los casos se usará el término ''elemento'' para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similares. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de elementos, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente deben usarse sólo agrupaciones de elementos idénticos, dejando para una etapa más avanzada su constitución con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como elementos para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y resta de magnitudes físicas, donde los elementos deben pertenecer a la misma categoría por la misma razón que no se pueden sumar peras a zapatos.
Para facilitar la comprensión del tema se introduce el concepto de cardinal con el ejemplo siguiente.
El jefe de una tribu decide invitar a todos los jefes de familia a una reunión donde se discutirán temas comunes de gran importancia. Para asegurar la buena voluntad de todos y no despertar la enemistad de nadie, quiere hacer a todos y cada uno de ellos un regalo idéntico que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar, por lo de modo que el jefe no sabe como asegurarse de que la cantidad de regalos será la justa, de modo de no saltearse a nadie ni preparar regalos sin destinatario. Cuando plantea el problema a sus consejeros, el más viejo y sabio de todos —su primer consejero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manos.
Para llevar a cabo su tarea el primer consejero se provee de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto del bolso izquierdo y lo coloca en el derecho. Cuando termina de ver a todos lleva el bolso de su hombro derecho a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos regalos como porotos contiene.
El concepto de cardinal no basta para establecer el concepto de número. La mente humana sólo tiene la capacidad de reconocer de modo instantáneo, sin contar de modo sucesivo, los cardinales 1, 2, 3 y 4, facultad que en inglés se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Subitize ''subitizing''], que puede traducirse como ''conteo súbito''. Algunos científicos consideran que podría ser considerado un sentido más, también presente en algunos primates superiores, al que denominan ''numerosity'' (''numerosidad'')[http://www.livescience.com/39441-is-numerosity-humans-sixth-sense.html?cmpid=532500]. Para determinar la cardinalidad de grupos más grandes debemos tener un conjunto de referencia de todos los diferentes cardinales (método poco práctico) o numerar sus elementos de modo sucesivo, es decir, contarlos. Es necesario, por ello, analizar detalladamente la relación de orden implícita en un recuento de cualquier tipo de elementos.
Para no introducir los números símbolos numéricos en una discusión previa a este concepto, bautizaremos a los cardinales de 1 a 4 con ''u'', ''d'', ''t'' y ''c'' (los nombres podrían haber sido otros, no es importante). Se puede hacer lo mismo con la cardinalidad de los conjuntos más frecuentemente útiles, como los que caracterizan la cantidad de hijos, de cabritos, de cacerolas, de flechas… La figura inferior ilustra ésto para sólo unos pocos, ordenados al azar, ya que todavía no hay criterio para hacerlo.
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Un cardinal particular, caracterizado por un conjunto de referencia (concepto similar al de unidad de medida), sólo permite identificar los conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, aquellos con los que se puede establecer una correspondencia de uno a uno (biyección). No basta, entonces, para lo que habitualmente denominamos ''medir'', para lo que se requiere es saber cuál conjunto tiene más (o menos) elementos, tiene un cardinal mayor (o menor ) que el de otro. Veamos cómo se define de modo operativo la relación de mayor o menor.
El cardinal de un conjunto es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática, una ''cota superior'') para la cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se puede construir otro de mayor cardinalidad agregándole elementos.