Usamos continuamente el '''concepto de númeronatural''' pese a que no podemos explicarlo bien ni definirlo con precisión. Sus aplicaciones prácticas exceden largamente nuestra comprensión y sin ellos no serían posibles ciencias exactas como la Física, ninguna de las ingenierías y la mayoría de las tecnologías, incluyendo a todas las industriales. La Economía tampoco sería viable sin ellos, ya que todas las transacciones comerciales se cuantifican con números en términos de unidades de valor de cambio como los pesos ($). La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y se establecieron con rigor todas las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos (construcciones, cálculo de impuestos, comercio…), después como una disciplina independiente de sus aplicaciones —tema que no se discute aquí—. Sin embargo, la Matemática no explica el ''concepto de número'' en términos comprensibles para no matemáticos, sólo lo formaliza de modo de evitar errores y contradicciones en su uso, extendiéndolo más allá del concepto inicial de número natural (1, 2, 3.......), base del concepto más general de números reales que incluye a los racionales (fracciones), radicales (raíces de todo orden) y transcendentes como ''e'' y π (pi). En este artículo se discute sólo el concepto de número natural, fundamento de todos los demás, tratando de poner en evidencia —con fines mayoritariamente docentes— dos de sus [[rasgo]]s esenciales. El primero es la medida de la cantidad que en Matemática se denomina el ''cardinal'' de un conjunto de elementos. El segundo es el "grandor relativo" de los diferentes cardinales, cuándo uno es mayor (>) o menor (<) que otro; es decir, las relaciones numéricas de orden. Durante el desarrollo se discute la independencia de estos dos rasgos, el hecho de que uno de ellos puede estar presente sin el otro.
==Enfoque de este artículo==
El concepto de número natural puede ser interpretado de modos muy diferentes según quienes lo analicen: psicólogos cognitivos, matemáticos, historiadores, docentes u otras personas que sólo quieran estar mejor informadas sobre este concepto tan básico. Es por ello imprescindible discutir del modo más claro posible el enfoque elegido para este artículo.
Los psicólogos cognitivos están interesados en la secuencia temporal en que se desarrollan las destrezas cognitivas de las personas, en especial los niños. A partir de los trabajos pioneros del biólogo suizo [[constructivismo|Jean Piaget]] en las décadas de 1930 y 1940 (véase, especialmente, ''Génesis del número en el niño''), el concepto de número ha sido un continuo tema de investigación (véase, por ejemplo, el trabajo de Brainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). Los desarrollos cognitivos son, a veces, incrementales, es decir, uno de ellos es requisito de otro. Por ejemplo, es imposible hacer experimentos avanzados de cardinalidad —los que exceden las destrezas innatas del niño, véase el ''conteo súbito'' en la sección siguiente— con un bebé que no ha alcanzado todavía a discernir objetos individuales y a comprender su perdurabilidad en el tiempo (la ''conservación de los objetos'' de Piaget). Otras veces, en cambio, es posible llegar al mismo concepto por vías diferentes. Algunos experimentos sugieren que en el proceso de formación del concepto de número el concepto de ''ordinal'' precede al de ''cardinal'' (caso de Brainerd), mientras otros indican que otras vías pueden estar en juego (caso de Rips y colaboradores).
El concepto de número natural se desarrolla recién después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellos. Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de objetos, como piedras, monedas, perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de número, concepto que incluye más características que el de la mera diversidad en cantidad. No es que todos los objetos agrupados sean idénticos, es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupaciones —en Matemática llamadas conjuntos— de "piedritas", como elementos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, en lo sucesivo, el concepto de ''elemento'', más general que el de ''objeto'' (cuerpo material con límites bien definidos). La razón de estos requisitos es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipo.
Los matemáticos, por su parte, han fundamentado el concepto de número natural de dos modos completamente diferentes que no requieren el uno del otro si sólo se atiende al rigor de los procedimientos. El primero de estos modos, introducido en 1884 por el matemático alemán Gottlob Frege, corresponde básicamente al esbozado en la sección siguiente para la determinación del cardinal de un conjunto en base a biyecciones. El segundo —basado en el concepto de orden y en grandes líneas coincidente con la discusión de la sección sobre ese tema— fue introducido por el italiano Giuseppe Peano en 1894, como el siguiente conjunto de cinco axiomas: