<br>

<Gallery widths=220 heights=138 align=center perrow=#4>

</Gallery>

<br>

==Áreas de figuras regulares==

Las figuras más simples que se pueden recubrir de modo perfecto son los rectángulos cuyos lados son múltiplos enteros del lado de la unidad cuadrada de área (múltiplo o submúltiplo del m&sup2;). El rectángulo de la Figura 5, cuyos lados miden respectivamente 3 y 5 unidades de longitud (los segmentos indicados), se puede cubrir completamente con cuadraditos cuyos lados miden 1 unidad de longitud, y cuyo número, como se ve a simple vista, es el producto de las medidas de los lados. Para mayor claridad del argumento estos rectángulos se representan separados a la derecha de la figura. Esta propiedad es completamente general y conduce a la fórmula del área de un rectángulo como el producto de su base por su altura. No es una definición inventada sino una consecuencia del concepto de área como medida del cubrimiento. La definición es válida también para lados que no son múltiplos enteros, sino cualquier fracción del lado del cuadrado unidad de área. Se puede verificar que esto es cierto usando como nueva unidad de área un cuadradito cuyo lado es también una fracción similar del original.

Con este modo de introducir el concepto de área es fácil comparar el área de un triángulo con la de un rectángulo. En la Figura 6 se muestra la manera habitual de hacer esta reducción mediante la subdivisión de un triángulo escaleno, operación válida también para los triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos (el caso más simple). Se traza la altura ''a'' del triángulo grisado, la línea de trazos, subdividiéndolo en dos triángulos rectángulos menores. Se construyen dos triángulos iguales a éstos, ubicándolos de modo de formar un rectángulo. Este rectángulo tiene un área doble que la del triángulo, porque para cubrirlo se requiere duplicar los triángulos originales. El área ''A'' del triángulo es, entonces, igual a la mitad de la del rectángulo así construido, la mitad del producto de su altura ''a'' por su base ''b'': ''A=a&middot;b/2''.

==El área de un círculo y el concepto de límite==

<br>

<br>

Los matemáticos han desarrollado un método muy general para calcular el área encerrada por curvas cerradas expresables mediante funciones matemáticas. La más regular de todas estas curvas, en el sentido de que tiene la mayor cantidad de [[simetrías]], es la circunferencia. El área de la superficie plana encerrada por una circunferencia (el círculo) se puede calcular cubriéndola con sectores circulares que pueden reordenarse para asemejarse a un rectángulo. Comenzamos, para aclarar ideas, con su cubrimiento con sólo 4 sectores circulares y luego dividimos cada uno de estos por 6 llevándolos a 24, como se muestra en la Figura 7. El cubrimiento es siempre perfecto cualquiera sea el número de sectores circulares usados, a diferencia de lo que sucedía en la Figura 4. La razón de aumentar su número es poder calcular su medida usando la fórmula básica del área del rectángulo. En efecto, cuanto más chicos sean los sectores circulares, más rectos se harán los bordes y más tenderá el “paralelogramo” a un rectángulo. Como se usa la mitad de los bordes externos de los sectores para formar el lado superior y la otra mitad para formar el inferior, su longitud es la misma e igual a la mitad del perímetro ''L'' de la circunferencia. Los lados “verticales” opuestos, por su parte, tienen longitudes iguales al radio ''R'' de la circunferencia. Por lo tanto, cuando los sectores circulares se hacen muy muy pequeños la figura tiende a un rectángulo cuya área vale ''A=R&middot;L/2''. La relación entre el perímetro ''L'' y el radio ''R'' de la circunferencia es ''L=2&pi;R'' donde &pi;=3,14159... Reemplazando este valor de ''L'' en la fórmula del área se obtiene el conocido valor ''A=&pi;R&sup2;''.

El proceso de cubrimiento recién descripto conduce al mismo resultado que la inscripción o circunscripción en la circunferencia de polígonos regulares con cantidad creciente de lados. El centro y los vértices del polígono determinan triángulos isósceles la longitud de cuya base se hace infinitesimal (tiende a cero). Este método general de calcular un área cualquiera usando elementos de cubrimiento cada vez menores, el llamado ''pasaje al límite infinitesimal'', ya fue usado por los geómetras griegos hace más de 2.000 años. El uso de elementos de área infinitesimales es el punto de partida del cálculo integral inventado por [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#Desarrollo_del_C.C3.A1lculo Isaac Newton] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz#C.C3.A1lculo_infinitesimal Gottfried Leibniz] hace casi 4 siglos, base imprescindible de la Física y las ingenierías actuales.

==Del cubrimiento al concepto de integral==

El cálculo de áreas mediante la operación matemática de integración se estudia en las escuelas industriales y universidades argentinas en las asignaturas Análisis Matemático. Una de las principales razones por las que los estudiantes tienen grandes dificultades para aprehenderlo en ambos niveles es porque su noción de área no incluye el cubrimiento.

<br>

En este método el número de áreas que se suman tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Es comprensible que para hacer un cubrimiento perfecto de superficies con bordes curvos, como la de la Figura 1, haya que usar subunidades cada vez más pequeñas. En cambio, es contrario a nuestra intuición que la suma de un número continuamente creciente de elementos pueda dar un resultado finito (véase Courant y Robbins, pp.&nbsp;441&#8209;446). Es por eso conveniente, antes de iniciar el tratamiento de las integrales, ejemplificar primero cómo puede suceder tal cosa. Se toma para ello un cuadrado de área ''A'', se lo divide por la mitad para obtener un rectángulo de área ''A''/2 y se lo adiciona al anterior. Luego se agrega la mitad de este rectángulo, un cuadrado de área ''A''/4. Se prosigue de este modo con el proceso de subdivisión y agregado obteniendo alternadamente rectángulos y cuadrados cuyas áreas sucesivas son siempre la mitad de las precedentes. La Figura 9 ilustra cómo la suma de las áreas de las infinitas figuras así obtenidas, que son cada vez más pequeñas, da un resultado finito que en este caso es exactamente ''A''. En efecto, el área no cubierta de la esquina superior derecha se reduce a la mitad en cada paso, tendiendo a 0 a medida que se siguen agregando figuras. En tan sólo 10 pasos el área sin cubrir es menor que un milésimo del área ''A''. Esta secuencia corresponde a la denominada serie geométrica:

[[Archivo:Serie geométrica numérica.jpg|center|300px]]

El símbolo &int; representa la operación de suma. El símbolo ''dx'', introducido por Leibniz, indica el pasaje de &Delta;''_x'' al límite infinitesimal. El cálculo integral, aparentemente muy complicado, se vincula luego a un operación mucho más fácil de calcular, la derivación, tema que no se discutirá aquí ni las múltiples aplicaciones que el concepto tiene en muy variados campos del saber (véase, por ejemplo, Rey Pastor y otros, cap. XIII).

Pareciera que el método no es apropiado para evaluar áreas de superficies cerradas arbitrarias, pero no es así. Cuando la región cuya área se quiere calcular no contiene el origen del sistema de coordenadas cartesianas, hay que descomponer el borde de la región (la curva ''y''(''x'')) en segmentos de modo tal que el área deseada pueda obtenerse por diferencia. Como la explicación escrita es más complicada que la visual, se remite al lector a la Figura 11 donde el área ''A'' deseada se calcula como la diferencia de áreas ''A''₁–''A''₂.

También es posible y frecuente el uso de elementos de área de forma muy variada (véase Granville), como los sectores circulares usados en las integrales polares que se muestran en la Figura 12 (Granville, pp.&nbsp;629&#8209;630). Estos sectores están determinados por su radio &rho;_n, el ángulo polar &theta;_n que éste determina con el eje horizontal y su apertura &Delta;_&theta;, constante para todos ellos. Si la curva es una circunferencia y se elige el origen de coordenadas en su centro, el método se reduce al de la Figura 7. Este método es generalizable a sistemas de coordenadas muy variados que por regla general no se estudian en los cursos normales de Física e ingenierías (véase, desde el punto de vista de la Física, Stratton, pp.&nbsp;47&#8209;59).

Las integrales simples anteriores dan rigor matemático a un cubrimiento diferente del descripto en la Figura 4. El proceso allí esbozado tiene su realización matemática rigurosa recién cuando se introducen las integrales dobles que describen la suma de cuadraditos de lados &Delta;''_x'' y &Delta;''_y'' cuyas longitudes tienden a cero. La diferencia con el proceso descripto por la Figura 10 es que en este último caso no se usan cuadraditos sino rectángulos cuyo ancho &Delta;''_x'' se hace tender a cero, pero cuya altura &Delta;''_y'' es finita. Las integrales dobles que corresponden al proceso de subdivisión representado en la Figura 13 son (Granville, pp.&nbsp;610&#8209;613):