Diferencia entre revisiones de «Poliedros arquimedeanos»
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| − | Los '''poliedros arquimedianos''' son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. | + | Los '''poliedros arquimedianos''' son [http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_convexo poliedros convexos] cuyas caras son [http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular polígonos regulares] (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 [http://es.wikipedia.org/wiki/Sólido_platónico sólidos platónicos]), cuyas [http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) aristas] son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos [http://es.wikipedia.org/wiki/Vértice_(geometr%C3%ADa) vértices] (forma de encuentro de las caras) son [http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa) congruentes] (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Todos los vértices de un ''poliedro arquimediano'' son puntos de una única superficie esférica, en la cual está inscripto. |
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| + | Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los [http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_(geometr%C3%ADa) prismas] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Antiprisma antiprismas] rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de ''poliedros arquimedianos''. Salvo el icosaedro truncado y el rombicosidodecaedro —que tienen aplicaciones como cúpulas geodésicas, pelotas de fútbol y [http://es.wikipedia.org/wiki/Fullereno fullerenos]— estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica. | ||
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| + | Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: [http://es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_equilátero triángulos equiláteros], [http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado cuadrados], [http://es.wikipedia.org/wiki/Pentágono pentágonos], [http://es.wikipedia.org/wiki/Hexágono exágonos], [http://es.wikipedia.org/wiki/Octágono octógonos] y [http://es.wikipedia.org/wiki/Decágono decágonos]. | ||
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| + | Por ser polígonos convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler: | ||
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| + | como puede verificarse directamente de la tabla inferior. | ||
==Rasgos== | ==Rasgos== | ||
| − | + | La tabla de algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En ''tipos de caras'' se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ''ángulos en vértices'' son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. ''D'' es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud ''a'' de las aristas. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en la sección siguiente. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las [[simetrías]] de cada poliedro. | |
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! Nombre !!Imagen !!Vértices !!Ángulos<br>en vértices !!Aristas !!''D'' !!Caras !!Tipos<br>de caras !!Grupo<br>puntual !! Fuentes | ! Nombre !!Imagen !!Vértices !!Ángulos<br>en vértices !!Aristas !!''D'' !!Caras !!Tipos<br>de caras !!Grupo<br>puntual !! Fuentes | ||
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| − | |Tetraedro truncado||align=center|[[Archivo:Truncatedtetrahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedtetrahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Tetraedro truncado||align=center|[[Archivo:Truncatedtetrahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedtetrahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|12 ||60° - 120° - 120° ||align=right|18 ||align=center| ||align=right|8 ||4 exágonos<br/>4 triángulos ||align=center|T<sub>d</sub>||align=center| |
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| − | |Cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctaedro.jpg|150px]]<br>:[http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/8/87/Cuboctaedro_animación.gif <small><center>'''Vea animación.'''</center></small>] ||align=right| | + | |Cuboctaedro ||align=center|[[Archivo:Cuboctaedro.jpg|150px]]<br>:[http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/8/87/Cuboctaedro_animación.gif <small><center>'''Vea animación.'''</center></small>] ||align=right|12 ||60° - 90° - 60° - 90° ||align=right| 24 ||align=center|2''a'' ||align=right|14 ||6 cuadrados<br>8 triángulos ||align=center|O<sub>h</sub> ||align=center|[http://en.wikipedia.org/wiki/Cuboctahedron] |
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| − | |Cubo truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedhexahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedhexahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Cubo truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedhexahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedhexahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|24 ||60° - 135° - 135° ||align=right|36 ||align=center| ||align=right|14 ||6 octógonos<br>8 triángulos ||align=center|O<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedoctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedoctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Octaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncatedoctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedoctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|24 ||90° - 120° - 120° ||align=right|36 ||align=center| ||align=right|14 ||6 cuadrados<br>8 exágonos ||align=center|O<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Rombicuboctaedro<br/>o rombicuboctaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Rombicuboctaedro<br/>o rombicuboctaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|24 ||60° - 90° -90° - 90° ||align=right|48 ||align=center| ||align=right|26 || 8 triángulos<br>18 cuadrados ||align=center|O<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Cubo romo <br/>o cuboctaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubhexahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubhexahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Cubo romo <br/>o cuboctaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubhexahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubhexahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubhexahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|24 ||60° - 60° - 60° - 60° - 90° ||align=right|60 ||align=center| ||align=right|38 || 6 cuadrados<br>32 triángulos ||align=center|O ||align=center| |
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| − | |Icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Icosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Icosidodecaedro ||align=center|[[Archivo:Icosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Icosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|30 ||60° - 108° - 60° - 108° ||align=right|60 ||align=center| ||align=right|32 ||12 pentágonos<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Cuboctaedro truncado<br/>o rombicuboctaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Cuboctaedro truncado<br/>o rombicuboctaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedcuboctahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|48 ||90° - 120° - 135° <br>o <br> 90° - 135° - 120° ||align=right|72 ||align=center| ||align=right|26 || 6 octógonos<br> 8 exágonos<br>12 cuadrados ||align=center|O<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Dodecaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncateddodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncateddodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Dodecaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Truncateddodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncateddodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|60 ||60° - 144° - 144° ||align=right|90 ||align=center| ||align=right|32 ||12 decágonos<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado.jpg|150px]]<br/>[http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/f/f3/Icosaedro_truncado_animación.gif <small><center>'''Vea animación.'''</center></small>] ||align=right| | + | |Icosaedro truncado ||align=center|[[Archivo:Icosaedro truncado.jpg|150px]]<br/>[http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/images/f/f3/Icosaedro_truncado_animación.gif <small><center>'''Vea animación.'''</center></small>] ||align=right|60 ||108° - 120° - 120° ||align=right|90 ||align=center| [[Archivo:D icosaedro truncado.jpg]]||align=right|32 ||20 exágonos<br>12 pentágonos ||align=center|I<sub>h</sub> ||align=center| [http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron] |
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| − | |Rombicosidodecaedro<br/>o rombicosidodecaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Rombicosidodecaedro<br/>o rombicosidodecaedro menor ||align=center|[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|60 ||60° - 90° - 108° - 90° ||align=right|120 ||align=center| ||align=right|62 ||12 pentágonos<br>30 cuadrados<br>20 triángulos ||align=center|I<sub>h</sub> ||align=center| |
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| − | |Dodecaedro romo<br/>o icosidodecaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubdodecahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubdodecahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Dodecaedro romo<br/>o icosidodecaedro romo<br/>(2 enantiomorfos) ||align=center|[[Archivo:Snubdodecahedronccw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedronccw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]]<br/>[[Archivo:Snubdodecahedroncw.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Snubdodecahedroncw.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|60 ||60° - 60° - 60° - 60° - 108° ||align=right|150 ||align=center| ||align=right|92 ||12 pentágonos<br>80 triángulos ||align=center|I ||align=center| |
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| − | |Icosidodecaedro truncado<br/>o rombicosidodecaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right| | + | |Icosidodecaedro truncado<br/>o rombicosidodecaedro mayor ||align=center|[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.jpg|60px]]<br/>:[[Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif|thumb|<small><center>'''Vea animación.'''</center></small>]] ||align=right|120 ||90° - 120° - 144°<br>o <br>90° - 144° - 120° ||align=right|180 ||align=center| ||align=right|62 ||12 decágonos<br>20 exágonos<br>30 cuadrados ||align=center|I<sub>h</sub> ||align=center| |
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==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
| − | * Ghyka, Matila; ''Estética de las | + | * Ghyka, Matila; ''Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes''; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. |
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid Archimedean solid] en Wikipedia en inglés. | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid Archimedean solid] en Wikipedia en inglés. | ||
| + | * Uzquiano, Gabriel; ''¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93. | ||
[[Categoría:Matemática]] | [[Categoría:Matemática]] | ||
Revisión del 18:13 11 feb 2012
Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Esto permite construirlos de manera sencilla con el método que se describe al final del artículo. Todos los vértices de un poliedro arquimediano son puntos de una única superficie esférica, en la cual está inscripto.
Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos. Salvo el icosaedro truncado y el rombicosidodecaedro —que tienen aplicaciones como cúpulas geodésicas, pelotas de fútbol y fullerenos— estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.
Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.
Por ser polígonos convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler:
Nº de aristas + Nº de caras – Nº de vértices = 2,
como puede verificarse directamente de la tabla inferior.
Rasgos
La tabla de algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en la sección siguiente. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro truncado | 60px : Archivo:Truncatedtetrahedron.gif |
12 | 60° - 120° - 120° | 18 | 8 | 4 exágonos 4 triángulos |
Td | ||
| Cuboctaedro |  : |
12 | 60° - 90° - 60° - 90° | 24 | 2a | 14 | 6 cuadrados 8 triángulos |
Oh | [1] |
| Cubo truncado | 60px : Archivo:Truncatedhexahedron.gif |
24 | 60° - 135° - 135° | 36 | 14 | 6 octógonos 8 triángulos |
Oh | ||
| Octaedro truncado | 60px : Archivo:Truncatedoctahedron.gif |
24 | 90° - 120° - 120° | 36 | 14 | 6 cuadrados 8 exágonos |
Oh | ||
| Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor |
60px : Archivo:Rhombicuboctahedron.gif |
24 | 60° - 90° -90° - 90° | 48 | 26 | 8 triángulos 18 cuadrados |
Oh | ||
| Cubo romo o cuboctaedro romo (2 enantiomorfos) |
60px : Archivo:Snubhexahedronccw.gif 60px : Archivo:Snubhexahedroncw.gif |
24 | 60° - 60° - 60° - 60° - 90° | 60 | 38 | 6 cuadrados 32 triángulos |
O | ||
| Icosidodecaedro | 60px : Archivo:Icosidodecahedron.gif |
30 | 60° - 108° - 60° - 108° | 60 | 32 | 12 pentágonos 20 triángulos |
Ih | ||
| Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor |
60px : Archivo:Truncatedcuboctahedron.gif |
48 | 90° - 120° - 135° o 90° - 135° - 120° |
72 | 26 | 6 octógonos 8 exágonos 12 cuadrados |
Oh | ||
| Dodecaedro truncado | 60px : Archivo:Truncateddodecahedron.gif |
60 | 60° - 144° - 144° | 90 | 32 | 12 decágonos 20 triángulos |
Ih | ||
| Icosaedro truncado |  |
60 | 108° - 120° - 120° | 90 |  |
32 | 20 exágonos 12 pentágonos |
Ih | [2] |
| Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor |
60px : Archivo:Rhombicosidodecahedron.gif |
60 | 60° - 90° - 108° - 90° | 120 | 62 | 12 pentágonos 30 cuadrados 20 triángulos |
Ih | ||
| Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 enantiomorfos) |
60px : Archivo:Snubdodecahedronccw.gif 60px : Archivo:Snubdodecahedroncw.gif |
60 | 60° - 60° - 60° - 60° - 108° | 150 | 92 | 12 pentágonos 80 triángulos |
I | ||
| Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor |
60px : Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif |
120 | 90° - 120° - 144° o 90° - 144° - 120° |
180 | 62 | 12 decágonos 20 exágonos 30 cuadrados |
Ih |
Fuentes
- Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95.
- Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
- Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.