Simetrías

Las simetrías de un objeto, el conjunto de operaciones que lo dejan invariante, son un importante concepto matemático de gran aplicación en la Física, la Química, la Mineralogía y todo tipo de tareas prácticas. Sus conceptos básicos, que se discuten en este artículo, deberían ser introducidos en el sistema educativo formal desde el nivel más elemental.

Operaciones de simetría

Las operaciones elementales de simetría de cuerpos (objetos materiales ) rígidos) son los centros de inversión, las rotaciones, las líneas y los planos de simetría, así como todas sus posibles combinaciones. La formulación matemática de las operaciones de simetría y sus propiedades es hecha por la Teoría de Grupos.

Líneas de simetría

Triángulos

Una de los casos más simples de simetría es la línea de simetría que tienen algunas figuras planas, también llamada línea de reflexión, porque pueden obtenerse figuras con estas características usando un espejo (la línea de reflexión sería el borde del espejo). Las figuras con esta característica se dice que tienen simetría bilateral. La Figura 1 es una composición hecha para que un rostro tenga simetría bilateral perfecta (la línea de simetría está marcada en negro), lo que nunca sucede en la realidad. Algunos psicólogos afirman que la mitad derecha y la mitad izquierda de un rostro son siempre diferentes porque están "gobernadas" por diferentes hemisferios cerebrales, reflejando una los pensamientos racionales y la otra los sentimientos. La descripción más simple de esta simetría es que dada cualquier línea perpendicular (en este caso horizontal) a la línea de simetría (en este caso vertical) a cada pixel de pantalla de la Figura 1 le corresponde otro pixel de idéntico color que está a la misma distancia de la línea de simetría, pero del otro lado. Se puede dar una descripción matemática más precisa, pero requiere el uso de ejes coordenados cartesianos y matrices, no siendo esencial para la comprensión de lo que es una simetría. Para promover esta comprensión no se justifica usar figuras tan complejas como un rostro, ni tampoco colores, basta usar líneas negras simples como la de la Figura 2, donde la línea de simetría es la vertical de trazos.

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  Figura 1.

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  Figura 2.

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  Figura 3.

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  Figura 4.

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  Figura 5.

En la Figura 3 se muestra un triángulo escaleno. La manera más fácil de verificar si tiene alguna línea de simetría es dibujarlo en un trozo de papel y probar de doblarlo en dos de modo que se superpongan exactamente los trazos de ambas mitades (como corresponde a la definición de línea de simetría). Ésto es imposible de lograr si los tres lados son de longitudes diferentes. El fracaso en la tarea, aunque sea de un gran número de personas, no es una demostración matemática, se requiere un argumento que asegure que nadie podrá nunca encontrar una línea de simetría en un triángulo escaleno. El argumento se puede esbozar así:

1. Si hay una línea de simetria, la definición requiere que sea perpendicular al punto medio de un lado del triángulo.
2. La línea de simetría debe, también, necesariamente pasar por uno de los vértices del triángulo, de lo contrario su reflexión respecto de la línea daría una figura con un vértice adicional, un cuadrilátero.
3. Entonces, los únicos triángulos que tienen al menos 1 línea de simetría son los isósceles y esta línea de simetría pasa por el vértice común a los dos lados iguales y por el punto medio de la base, como se muestra en la Figura 4.

Un subgrupo de los triángulos isósceles, los equiláteros, resulta tener 3 líneas de simetría, como ilustra la Figura 5. No hay triángulos que tengan sólo 2 líneas de simetría, ¿por qué? Porque si hay 2 líneas de simetría diferentes, no perpendiculares, la reflexión de una respecto de la otra genera una línea de simetría adicional. Este argumento es complicado de demostrar rigurosamente, pero puede ilustrarse fácilmente mediante adecuados plegados de papel.

Dos boletos capicúas.

Números capicúas

Las operaciones de simetría pueden aplicarse a clases de objetos mucho más amplias que las figuras geométricas. Un ejemplo es el de los números llamados capicúas, que se leen de la misma manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La parte izquierda de la figura adjunta muestra un boleto de tren cuyo número es 99999, o boleto capicúa. Si la existencia de una línea de simetría se interpreta como la igualdad de los dígitos que están a la misma "distancia" (cantidad de posiciones) a izquierda o derecha de la misma, este número tiene una línea de simetría que pasa por el 9 central (el 3º contando desde la izquierda). La simetría es aquí demasiado alta ya que hay también simetrías de traslación de los dígitos, que pueden intercambiarse libremente. La figura de la derecha muestra un boleto capicúa mucho más común, que contiene el mínimo número posible de dígitos repetidos. Hay números capicúas de cualquier cantidad de dígitos, aunque la línea de simetría pasa por un dígito cuando su cantidad es impar y entre dos dígitos cuando la cantidad es par.

Es superstición popular considerar que los números capicúas traen buena suerte. La razón es probablemente su escasez, lo que hace improbable su obtención, cómo la de los tréboles de 4 hojas. Para el caso ilustrado de 5 dígitos (usual para los boletos) y supuesto que hay 100.000 boletos (se incluye el Nº 00000), sólo 1 de cada 100 números es capicúa (probabilidad 1/100 = 0,01). Para el caso de 6 dígitos, sólo 1 de cada 1.000 (probabilidad 1/1000 = 0,001). ¿Se anima a encontrar la fórmula que da la probabilidad de ocurrencia de un número capicúa en una serie completa de n dígitos? Este problema es de un nivel adecuado para su resolución por alumnos de 4º o 5º año del secundario; en su resolución es central la existencia y ubicación de una línea de simetría.

Aplicaciones prácticas de líneas de simetría

Determinación del centro de un círculo por trazado de tangentes y bisectrices.

1. Para poder armar una caja rectangular de cartón se quiere trazar las perpendiculares a los bordes de la plancha, pero no se tiene escuadra. Se toma una hoja de papel y se la dobla por uno de sus bordes, haciendo coincidir exactamente las 2 mitades del borde doblado. Se asienta y pliega el papel manteniendo firme el borde plegado: el pliegue es la línea de simetría de ese borde y perpendicular a él.
2. Se quiere obtener la bisectriz del ángulo determinado por la intersección de dos líneas rectas y no se tiene transportador. Se trazan las rectas en una hoja de papel y se la pliega por el punto de intersección haciendo coincidir las 2 rectas. La línea de pliegue, la de simetría del ángulo, determina la bisectriz con mayor precisión que un transportador si los trazos son suficientemente finos y bien visibles, para lo cual conviene hacerlos con marcador negro de punta fina, no con lápiz.
3. Se quiere determinar el centro de un círculo y no hay ningún instrumento que permita hacerlo (no se fabrican comercialmente). Se dibuja la circunferencia del borde en papel; se trazan 2 tangentes cualesquiera a ella; se determina, por plegado, la bisectriz del ángulo determinado por las dos tangentes; se trazan otras dos tangentes aproximadamente perpendiculares a las anteriores y se traza del mismo modo la nueva bisectriz. La intersección de las dos bisectrices es el centro del círculo, porque ambas bisectrices son líneas de simetría de la circunferencia (hay infinitas) y su intersección es el centro de inversión (también una simetría) de la circunferencia, el centro geométrico del circulo que determina (véase la figura adjunta).

Hay muchas aplicaciones más de este tipo, útiles en trabajos de carpintería o de armado de objetos de formas regulares. Todos los polígonos regulares tienen numerosas líneas de simetría que facilitan su trazado en papel. Encuéntrelas.

Fuentes

• Ghyka, Matila C.; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; Buenos Aires; 1953. Discute, con numerosos e interesantes ejemplos, las simetrías que aparecen en la naturaleza y en las artes gráficas.

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