Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Todos los vértices son puntos de una superficie esférica que circunscribe al poliedro. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.
Rasgos
Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos.
Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.
Por ser poliedros convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler[1]:
Nº de aristas + Nº de caras – Nº de vértices = 2,
como puede verificarse directamente de la tabla inferior.
La tabla siguiente da algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas[2]. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en el artículo Construcción de poliedros regulares y semirregulares desarmables. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[3] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro truncado |  |
12 | 60° - 120° - 120° | 18 | √(11/2)a ≅ 2,3a | 8 | 4 exágonos 4 triángulos |
Td | [4] |
| Cuboctaedro |  |
12 | 60° - 90° - 60° - 90° | 24 | 2a | 14 | 6 cuadrados 8 triángulos |
Oh | [5] |
| Cubo truncado |  |
24 | 60° - 135° - 135° | 36 |  |
14 | 6 octógonos 8 triángulos |
Oh | [6] |
| Octaedro truncado o tetrakaidecaedro o eptaparaleloedro de Fedorov o poliedro de Kelvin |
 |
24 | 90° - 120° - 120° | 36 | √10a ≅ 3,2a | 14 | 6 cuadrados 8 exágonos |
Oh | [7] |
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[8] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
| Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor |
150px Archivo:Rhombicuboctahedron.gif |
24 | 60° - 90° -90° - 90° | 48 | 26 | 8 triángulos 18 cuadrados |
Oh | ||
| Cubo romo o cuboctaedro romo (2 enantiomorfos) |
150px Archivo:Snubhexahedronccw.gif 150px Archivo:Snubhexahedroncw.gif |
24 | 60° - 60° - 60° - 60° - 90° | 60 | 38 | 6 cuadrados 32 triángulos |
O | ||
| Icosidodecaedro o triakontágono |
150px Archivo:Icosidodecahedron.gif |
30 | 60° - 108° - 60° - 108° | 60 | 32 | 12 pentágonos 20 triángulos |
Ih | ||
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[9] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
| Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor |
 |
48 | 90° - 120° - 135° o 90° - 135° - 120° |
72 |  |
26 | 6 octógonos 8 exágonos 12 cuadrados |
Oh | [10] |
| Dodecaedro truncado |  |
60 | 60° - 144° - 144° | 90 |  |
32 | 12 decágonos 20 triángulos |
Ih | |
| Icosaedro truncado |  |
60 | 108° - 120° - 120° | 90 |  |
32 | 20 exágonos 12 pentágonos |
Ih | [11] |
| Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor |
 |
60 | 60° - 90° - 108° - 90° | 120 |  |
62 | 12 pentágonos 30 cuadrados 20 triángulos |
Ih | |
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[12] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
| Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 enantiomorfos) |
150px Archivo:Snubdodecahedronccw.gif 150px Archivo:Snubdodecahedroncw.gif |
60 | 60° - 60° - 60° - 60° - 108° | 150 | 92 | 12 pentágonos 80 triángulos |
I | [13] | |
| Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor |
150px Archivo:Truncatedicosidodecahedron.gif |
120 | 90° - 120° - 144° o 90° - 144° - 120° |
180 | 62 | 12 decágonos 20 exágonos 30 cuadrados |
Ih | ||
| Nombre | Imagen | Vértices | Ángulos en vértices |
Aristas | D[14] | Caras | Tipos de caras |
Grupo puntual |
Fuentes |
Algunas aplicaciones prácticas
- Cubo romo: cúpula bizantina sobre pechinas (en rigor, la superficie se obtiene de la intersección de la esfera que inscribe al cubo romo con el cubo del cual éste se obtiene por truncamiento).
- Icosaedro truncado: cúpulas geodésicas; pelotas de fútbol.
- Octaedro truncado: único poliedro semirregular capaz de llenar por repetición un volumen sin dejar intersticios.
- Rombicosidodecaedro: cúpulas geodésicas; estructura de los fullerenos.
Fuentes
- Archimedean solid en WolframMathworld.
- Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. Discute interesantes usos artísticos pero la terminología no siempre es matemáticamente correcta.
- Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
- Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.