El jefe de una tribu decide invitar a todos los jefes de familia a una reunión donde se discutirán temas comunes de gran importancia. Para asegurar la buena voluntad de todos y no despertar la enemistad de nadie, quiere hacer a todos y cada uno de ellos un regalo idéntico que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar, de modo que el jefe no sabe como asegurarse de que la cantidad de regalos será la justa, de modo de no saltearse a nadie ni preparar regalos sin destinatario. Cuando plantea el problema a sus consejeros, el más viejo y sabio de todos —su primer consejero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manos.
Para llevar a cabo su tarea el primer consejero se provee de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda del bolso izquierdo y lo coloca en la derechael derecho. Cuando termina de ver a todos lleva la bolsa izquierda el bolso de su hombro derecho a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos regalos como porotos hay en interiorcontiene.
El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en el bolso de la bolsa izquierdaderecha. Lo único que tuvo que hizo fue hacer corresponder un poroto (y sólo uno ) a cada jefe de familia, destreza natural en todas normal de las personas adultas normales. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron.
La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina [http://es.wikipedia.org/wiki/Biyección ''biyección'']—establece la igualdad del cardinal de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que el cardinal no es un rasgo propio de un objeto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala dice ya que los números no son objetos ni rasgos de objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanasabstractas.
Desde el punto de vista matemático el cardinal tiene dos fundamentos esenciales:
# El concepto de correspondencia uno a uno entre elementos (''biyección'');
# El concepto de igualdad de correspondencias. En el ejemplo dado, se requiere la igualdad —mediada por el cardinal de los porotos del bolso de la bolsa derecha— referencia— entre el cardinal del conjunto de jefes de familia y el del conjunto de regalos.
Una buena [[metáfora]] del proceso de establecimiento de la correspondencia uno a uno es el conjunto de ojales y botones de una camisa, ya que nadie fabrica una camisa con más ojales que botones o más botones que ojales. Un saco no sirve, ya que sus mangas tienen usualmente botones de adorno, sin ojales. No hay metáfora para el concepto de igualdad, que no es un proceso sino un [[rasgo]] básico de la percepción humana.
==Orden Grandor relativo de los elementos de un conjuntocardinales==El concepto de cardinal no basta para establecer el concepto de número. La mente humana sólo tiene la capacidad de reconocer de modo instantáneo, sin contar de modo sucesivo, los cardinales 1, 2, 3 y 4, facultad que en inglés se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Subitize ''subitizing''] y , que aquí denominaremos puede traducirse como ''subitandoconteo súbito''. Para determinar la cardinalidad de grupos más grandes tenemos debemos tener un conjunto de referencia de todos los diferentes cardinales (método poco práctico) o numerar sus elementos de modo sucesivo, es decir, contarlos. Es necesario, por ello, analizar detalladamente la relación de orden implícita en un recuento de cualquier tipo de elementos.
Para no introducir los números en una discusión previa a este concepto, bautizaremos a los cardinales de 1 a 4 con ''u'', ''d'', ''t'' u ''c'' (los nombres podrían haber sido otros, no es importante). Se puede hacer lo mismo con la cardinalidad de los conjuntos más frecuentemente útiles, como los que caracterizan la cantidad de hijos, de cabritos, de cacerolas, de flechas… La figura inferior ilustra ésto para sólo unos pocos, ordenados al azar, ya que todavía no hay criterio para hacerlo.
[[Archivo:Cardinal grupos botones.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Los cardinales de algunos grupos de botones.'''</center></small>]]
Un cardinal particular, caracterizado por un conjunto de referencia (concepto similar al de unidad de medida), sólo permite identificar los conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, aquellos con los que se puede establecer una correspondencia de uno a uno (biyección). No basta, entonces, para lo que habitualmente denominamos ''medir'', para lo que se requiere es saber cuál conjunto tiene más (o menos) elementos, tiene un cardinal mayor o menor que el de otro. Veamos cómo se define de modo operativo la relación de mayor o menor.
El cardinal de un conjunto es mayor que el de otro si se puede obtener agregándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''d'', ''t'' y ''c'' son mayores que el cardinal de ''u'', porque se obtienen agregando más elementos a éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''t'' y ''c'' son mayores que ''u'' y ''d'', y que ''c'' es mayor que ''u'', ''d'' y ''t''. No hay un tope (en Matemática,una ''cota superior'') para la cardinalidad de un conjunto, es decir, dado cualquier conjunto siempre se puede construir otro de mayor cardinalidad agregándole elementos.
El cardinal de un conjunto es menor que el de otro si se puede obtener quitándole al último uno o más elementos. Así, los cardinales de ''u'', ''d'' y ''t'' son menores que el cardinal de ''c'', porque se obtienen quitando elementos a éste. Del mismo modo podemos determinar que los de ''u'' y ''d'' son menores que el de ''t'' y ''c'', y que el de ''u'' es menor que el de ''d'', ''t'' y ''c''. Aquí aparece un hecho nuevo e importante. No hay agrupación de elementos con cardinal menor que el de ''u'', porque si le quito a éste su único elemento no tengo ninguna agrupación. Esta restricción histórica inicial fue posteriormente eliminada de la matemática extrendiendo el nombre de conjunto también a una agrupación sin ningún elemento, cuya cardinalidad (el cero o 0) no se discutirá aquí.
==Hacia el concepto abstracto de número==
[[Archivo:Conjuntos representaciones.jpg|300px|right|thumb|<small><center>'''Diferentes maneras de representar un conjunto.'''</center></small>]]
La siguiente etapa corresponde a otra capacidad intrínseca de los seres humanos (aunque también de algunos primates, como los chimpancés): la simbolización. En este caso corresponde al reemplazo de:
* las agrupaciones de objetos por sus representaciones (en papel o en la pantalla de una computadora, por ejemplo, como en la Figura 2);
* los conjuntos de referencia o sus representaciones, por sus nombres, caso en que recién cobran sentido las denominaciones 1 (en vez de ''u''), 2 (''d''), 3 (''t''), 4 (''c'') y así siguiendo;
* de las operaciones con conjuntos por sus representaciones o por sus símbolos, como en la Figura 2figura adjunta.
No se necesita ahora tener conjuntos de referencia, basta tener los símbolos que los representan y memorizar su orden. Se llega recién entonces a la operación de contar, que en la primera etapa, por ejemplo, va acompañada del trazado de palitos con lápiz sobre un papel o de agrupación de pequeños objetos sobre la mesa de trabajo (granitos de arroz, piedritas…). Éste es el comienzo de la Aritmética, ya que su tomamos una agrupación de granitos de arroz con cardinalidad 3 y la agregamos a otra con cardinalidad 4 obtenemos una nueva agrupación con 7 granitos: es decir: