Poliedros arquimedeanos

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Pantalla de lámpara con estructura de
rombicuboctaedro hecha con "esquineros".

Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares (no todas idénticas, ya que se excluyen los 5 sólidos platónicos), cuyas aristas son todas de igual longitud y las configuraciones de cuyos vértices (forma de encuentro de las caras) son congruentes (pueden superponerse mediante adecuadas traslaciones, rotaciones o/y reflexiones). Todos los vértices son puntos de una superficie esférica que circunscribe al poliedro. Aunque tienen variadas aplicaciones, estos cuerpos son de interés más por su bella e intrigante forma y sus ricas propiedades geométricas que por su utilidad práctica.


Rasgos

Los poliedros arquimedianos son 15, donde 2 de ellos son enantiomorfos (imágenes especulares) de otros 2. El número que satisface la definición inicial es en realidad infinito porque incluye todos los prismas y antiprismas rectangulares cuyas bases son cualquiera de los infinitos polígonos regulares, exceptuando al prisma cuadrado que coincide con el cubo. Por esta razón es usual, aunque no hay consenso generalizado al respecto, excluir a los prismas y antiprismas de la lista de poliedros arquimedianos.

Los poliedros arquimedianos son semirregulares y sus caras pueden ser de 2 o 3 tipos de los siguientes polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, exágonos, octógonos y decágonos.

Por ser poliedros convexos los poliedros arquimedianos satisfacen la relación de Euler[1]:

Nº de aristas + Nº de caras – Nº de vértices = 2,

como puede verificarse directamente de la tabla inferior.

La tabla siguiente da algunos rasgos importantes de los poliedros arquimedianos. En tipos de caras se especifica el número de cada tipo de polígonos regulares que hay en el total de caras. Los ángulos en vértices son los determinados por las aristas que convergen en un vértice y se dan en sentido horario mirando desde el interior del poliedro. D es el diámetro de la esfera en la está circunscripto el poliedro y se expresa en términos de la longitud a de las aristas[2]. Los dos últimos datos son indispensables para el método constructivo que se da en el artículo Construcción de poliedros regulares y semirregulares desarmables. El grupo puntual, que no se discutirá aquí, identifica matemáticamente las simetrías de cada poliedro.


Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[3] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Tetraedro truncado Tetraedro truncado.jpg
Vea animación.
12 60° - 120° - 120° 18 √(11/2)a  ≅ 2,3a 8 4 exágonos
4 triángulos
Td [4]
Cuboctaedro Cuboctaedro.jpg
Vea animación.
12 60° - 90° - 60° - 90° 24 2a 14 6 cuadrados
8 triángulos
Oh [5]
Cubo truncado Cubo truncado.jpg
Vea animación.
24 60° - 135° - 135° 36 D cubo truncado.jpg 14 6 octógonos
8 triángulos
Oh [6]
Octaedro truncado
o
tetrakaidecaedro
o
eptaparaleloedro de Fedorov
o
poliedro de Kelvin
Octaedro truncado.jpg
Vea animación.
24 90° - 120° - 120° 36 √10a  ≅ 3,2a 14 6 cuadrados
8 exágonos
Oh [7]
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[8] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Rombicuboctaedro
o
rombicuboctaedro menor
150px
24 60° - 90° -90° - 90° 48 26  8 triángulos
18 cuadrados
Oh
Cubo romo
o
cuboctaedro romo
(2 enantiomorfos)
150px

150px
24 60° - 60° - 60° - 60° - 90° 60 38  6 cuadrados
32 triángulos
O
Icosidodecaedro
o
triakontágono
150px
30 60° - 108° - 60° - 108° 60 32 12 pentágonos
20 triángulos
Ih
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[9] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Cuboctaedro truncado
o
rombicuboctaedro mayor
Cuboctaedro truncado.jpg
Vea animación.
48 90° - 120° - 135°
o

90° - 135° - 120°
72 D cuboctaedro truncado.jpg 26  6 octógonos
 8 exágonos
12 cuadrados
Oh [10]
Dodecaedro truncado Dodecaedro truncado.jpg
Vea animación.
60 60° - 144° - 144° 90 D dodecaedro truncado.jpg 32 12 decágonos
20 triángulos
Ih
Icosaedro truncado Icosaedro truncado.jpg
Vea animación.
60 108° - 120° - 120° 90 D icosaedro truncado.jpg 32 20 exágonos
12 pentágonos
Ih [11]
Rombicosidodecaedro
o
rombicosidodecaedro menor
Rombicosidodecaedro.jpg
Vea animación.
60 60° - 90° - 108° - 90° 120 D rombicosidodecaedro.jpg 62 12 pentágonos
30 cuadrados
20 triángulos
Ih
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[12] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes
Dodecaedro romo
o
icosidodecaedro romo
(2 enantiomorfos)
150px

150px
60 60° - 60° - 60° - 60° - 108° 150 92 12 pentágonos
80 triángulos
I [13]
Icosidodecaedro truncado
o
rombicosidodecaedro mayor
150px
120 90° - 120° - 144°
o

90° - 144° - 120°
180 62 12 decágonos
20 exágonos
30 cuadrados
Ih
Nombre Imagen Vértices Ángulos
en vértices
Aristas D[14] Caras Tipos
de caras
Grupo
puntual
Fuentes


Algunas aplicaciones prácticas

Cúpula sobre pechinas de la
mezquita de Ahmed en Estambul.
  • Cubo romo: cúpula bizantina sobre pechinas (en rigor, la superficie se obtiene de la intersección de la esfera que inscribe al cubo romo con el cubo del cual éste se obtiene por truncamiento).
  • Icosaedro truncado: cúpulas geodésicas; pelotas de fútbol.
  • Octaedro truncado: único poliedro semirregular capaz de llenar por repetición un volumen sin dejar intersticios.
  • Rombicosidodecaedro: cúpulas geodésicas; estructura de los fullerenos.

Fuentes

  • Archimedean solid en WolframMathworld.
  • Ghyka, Matila; Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes; Editorial Poseidón; ciudad de Buenos Aires; 1953; Ghyka EPNA; pp. 87‑95. Discute interesantes usos artísticos pero la terminología no siempre es matemáticamente correcta.
  • Archimedean solid en Wikipedia en inglés.
  • Uzquiano, Gabriel; ¿Qué es un poliedro?; revista Investigación y Ciencia; septiembre 2011; pp. 91‑93.