Cómo trazar una elipse

Cómo trazar una elipse describe una técnica simple para trazar una elipse de dimensiones prefijadas. Por su simplicidad puede usarse para hacer el marco de una fotografía, el tablero de una mesa o el trazado de un cantero de forma elipsoidal en jardinería (campo en que el método es conocido desde hace mucho tiempo). La técnica ilustra también que la definición de una curva como lugar geométrico facilita el desarrollo de un método práctico de trazado sin hacer uso de coordenadas cartesianas —la manera usual, pero más compleja.

El problema

Figura 1. Dimensiones y parámetros de una elipse.

El problema práctico aparece al querer trazar "óvalos", como los bordes de un portarretratos, donde las dimensiones requeridas son la altura v (la mayor dimensión en el caso de un retrato) y el ancho h (la menor, véase la Figura 1). Los óvalos, especie de circunferencias achatadas, no son curvas matemáticamente bien definidas, ya que hay varias con este rasgo que no pueden diferenciarse unas de otras a simple vista. Aunque esta indeterminación no tiene importancia para el lego en Matemática, el desarrollo de una técnica de trazado requiere optar por una sola familia de curvas. Se eligen aquí las elipses, curvas que se obtiene al seccionar un cono con un plano y que también son las trayectorias que describen los planetas alrededor del sol.

Como se ilustra en la Figura 1, la forma de una elipse cualquiera queda completamente determinada por 2 longitudes diferentes denominadas sus semiejes. En la Figura 1 el semieje mayor es la longitud del segmento a y el semieje menor la del segmento b. Un rasgo importante de las elipses es que tienen 2 líneas perpendiculares de simetría que pasan por su centro y contienen a sus semejes. El ovoide, sección de un huevo, sólo tiene 1. Otro rasgo característico de la familia de las elipses es que cuando sus 2 semiejes son iguales se obtiene una circunferencia. Se ve fácilmente en la figura que la altura v y el ancho h de la elipse valen

v = 2a, h = 2b. (Ecuación 1)

La Figura 1 contiene otros datos que serán necesarios para el trazado de la elipse cuando se caracterice la curva de manera matemáticamente precisa.

Elipse como lugar geométrico

Figura 2. La elipse como lugar geométrico.

El concepto matematico de lugar geométrico puede "traducirse" al lenguaje cotidiano como curva determinada por una condición. La definición matemática de una elipse como lugar geométrico se expresa así:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a 2 puntos fijos, sus focos, es constante.

En la Figura 2 se individualizan los focos, con los símbolos F₁ y F₂, y las distancias del punto P a cada uno ellos. El concepto de foco tiene importantes aplicaciones científicas: por ejemplo, el sol está ubicado en uno de los foco de la elipse que traza la Tierra cuando gira a su alrededor. En la figura, la suma c de las distancias del punto P a los 2 focos es la siguiente suma de longitudes de segmentos:

F₁P + PF₂ = c. (Ecuación 2)

Figura 3. Trazado de una elipse con lápiz sobre papel.

Esta suma tiene el mismo valor para cualquier punto P; es decir, c es una longitud fija (una constante) característica de una elipse dada. También es una constante la distancia d entre sus focos. Ambas constantes, c y d, definen completamente una única elipse.

Esta definición de elipse permite su trazado de modo muy simple. La constancia de la longitud c se obtiene con un cordel no elástico: una gomilla no serviría ya que puede variar su longitud al estirarse y contraerse. La posición de los 2 focos se obtiene con clavos fijados a una madera o estacas fijadas al suelo, según el tipo de forma elíptica a construir. La curva se obtiene deslizando sobre una superficie (papel, madera, piso...) un trazador (lápiz, tiza, palo...) a lo largo del cordel, cuyos extremos deben estar fijos a un par de clavos o estacas. El método se ilustra en la Figura 3.

Solo falta relacionar entre sí los 2 pares de datos requeridos para este trazado: la longitud c del cordel y la distancia d entre los focos con la altura v y el ancho h deseados para la elipse.

Relaciones entre v, h, c y d

Figura 4. Relación entre v y c.

Las relaciones entre v, h, c y d se pueden también encontrar a partir de la definición de la elipse como lugar geométrico. En la Figura 4 se muestra que para los puntos Q y R ubicados sobre la recta que contiene al semieje mayor a de la elipse (definido en la Figura 1), se cumple la siguiente igualdad de longitudes de segmentos:

F₁Q + QF₂ = c. (Ecuación 3)

Por la simetría de la elipse, son iguales las longitudes de los siguientes segmentos:

QF₂ = RF₁,

que reemplazado en el primer miembro de la Ecuación 3 da

F₁Q + RF₁ = v = c. (Ecuación 4)

Figura 5. Relación entre h y d.

Es decir, la longitud c del cordel usado para el trazado debe ser igual a la altura v deseada para la elipse.

La separación d de los focos, la longitud F₁F₂ se obtiene de la Figura 5, donde el punto S de la elipse está sobre la recta que contiene al semieje menor b. Esta recta divide al triángulo isósceles de vértices F₁, F₂ y S, en dos triángulos rectángulos congruentes. Las longitudes de los 3 lados de cualquiera de estos triángulos, por ejemplo el F₁OS, cumplen el Teorema de Pitágoras:

SO² + OF₁² = F₁S²

donde

SO = h/2, OF₁ = d/2 y F₁S = c/2.

Simplificando los denominadores, resulta

h² + d² = c², o sea, d² = c² - h².

Como c= v, se tiene entonces que

d = √(v² - h²). (Ecuación 5)

Para trazar una elipse de altura v y ancho h, hay que usar un cordel de longitud v y separar sus 2 soportes a distancia d = √(v² - h²). Estas tres longitudes están relacionadas entre sí como los tres lados de un triángulo rectángulo, donde v es la diagonal y h, d los catetos, lo que permite obtenerlas gráficamente cuando no se tenga una calculadora que compute raíces cuadradas.

Esta técnica ilustra la importancia del conocimiento de la Geometría (una ciencia) para la resolución de problemas prácticos.

Ejemplo simple

Por ejemplo, para construir una elipse de altura v = 15 cm y ancho h = 9 cm, la longitud del piolín debe ser c = 15 cm y la separación entre clavitos d = 12 cm. El ejemplo se ha elegido aquí para que el resultado de la raíz sea un número entero, lo que en la práctica sucederá raras veces.

Ecuación de las elipses en coordenadas cartesianas ortogonales

Aunque no es necesaria para la técnica de trazado, se incluye aquí la expresión matemática de las elipses. Si x es la abcisa e y la ordenada, en el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales xy la ecuación de la elipse de semiejes a y b con centro en el origen es:

x²/a² + y²/b² = 1.

Fuentes

• Korn y Korn; Mathematical handbook for scientists and engineers; McGraw-Hill; Nueva York (EEUU); 1961; p. 50. Se dan ecuaciones que describen gran cantidad de propiedades de las elipses en sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales.
• Elipse en Wikipedia.
• La elipse. Video ilustrativo del trazado de la elipse con la técnica descripta en este artículo, pero sin dar las relaciones que determinan la altura y ancho deseados.
• How to draw an ellipse. Video ilustrativo del trazado de una elipse punto a punto, mostrando lo engorroso de esta técnica.