Las operaciones elementales de simetría de [[cuerpo]]s (objetos materiales reales y ) rígidos) son los centros de inversión, las rotaciones, las líneas y los planos de simetría, así como todas sus posibles combinaciones. La formulación matemática de las operaciones de simetría y sus propiedades es hecha por la Teoría de Grupos.
[[Archivo:Círculo centro por bisectrices.jpg|180px|right|thumb|<center>'''Determinación del centro de un círculo por trazado de tangentes y bisectrices.</center>]]
En la Figura 3 se muestra un triángulo escaleno. La manera más fácil de verificar si tiene alguna línea de simetría es dibujarlo en un trozo de papel y probar de doblarlo en dos de modo que se superpongan exactamente los trazos de ambas mitades (como corresponde a la definición de línea de simetría). Ésto es imposible de lograr si los tres lados son de longitudes diferentes. El fracaso en la tarea, aunque sea de un gran número de personas, no es una demostración matemática, se requiere un argumento que asegure que nadie podrá nunca encontrar una línea de simetría en un triángulo escaleno. El argumento se puede esbozar así:
Un subgrupo de los triángulos isósceles, los equiláteros, resulta tener 3 líneas de simetría, como ilustra la Figura 5. No hay triángulos que tengan sólo 2 líneas de simetría, ¿por qué? Porque si hay 2 líneas de simetría diferentes, no perpendiculares, la reflexión de una respecto de la otra genera una línea de simetría adicional. Este argumento es complicado de demostrar rigurosamente, pero puede ilustrarse fácilmente mediante adecuados plegados de papel.
Las operaciones de simetría pueden aplicarse a clases de objetos mucho más amplias que las figuras geométricas. Un ejemplo es el de los números llamados ''capicúas'', que se leen de la misma manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La parte izquierda de la figura adjunta muestra un boleto de tren cuyo número es 99999, o ''boleto capicúa''. Si la existencia de una línea de simetría se interpreta como la igualdad de los dígitos que están a la misma "distancia" (cantidad de posiciones) a izquierda o derecha de la misma, este número tiene una línea de simetría que pasa por el 9 central (el 3º contando desde la izquierda). La simetría es aquí demasiado alta ya que hay también simetrías de traslación de los dígitos, que pueden intercambiarse libremente. La figura de la derecha muestra un boleto capicúa mucho más común, que contiene el mínimo número posible de dígitos repetidos. Hay números capicúas de cualquier cantidad de dígitos, aunque la línea de simetría pasa por un dígito cuando su cantidad es impar y entre dos dígitos cuando la cantidad es par.
Es superstición popular considerar que los números capicúas traen buena suerte. La razón es probablemente su escasez, lo que hace improbable su obtención, cómo la de los tréboles de 4 hojas. Para el caso ilustrado de 5 dígitos (usual para los boletos) y supuesto que hay 100.000 boletos (se incluye el Nº 00000), sólo 1 de cada 100 números es capicúa (probabilidad 1/100 = 0,01). Para el caso de 6 dígitos, sólo 1 de cada 1.000(probabilidad 1/1000 = 0,001). ¿Se anima a encontrar la fórmula que da la probabilidad de ocurrencia de un número capicúa en una serie completa de ''n'' dígitos? Este problema es de un nivel adecuado para su resolución por alumnos de 4º o 5º año del secundario; en su resolución es central la existencia y ubicación de una línea de simetría tiene un rol central.
===Aplicaciones prácticas de líneas de simetría===
[[Archivo:Círculo centro por bisectrices.jpg|180px|right|thumb|<small><center>'''Determinación del centro de un círculo por trazado de tangentes y bisectrices.</center></small>]]
# Para poder armar una caja rectangular de cartón se quiere trazar las perpendiculares a los bordes de la plancha, pero no se tiene escuadra. Se toma una hoja de papel y se la dobla por uno de sus bordes, haciendo coincidir exactamente las 2 mitades del borde doblado. Se asienta y pliega el papel manteniendo firme el borde plegado: el pliegue es la línea de simetría de ese borde y perpendicular a él.
# Se quiere obtener la bisectriz del ángulo determinado por la intersección de dos líneas rectas y no se tiene transportador. Se trazan las rectas en una hoja de papel y se la pliega por el punto de intersección haciendo coincidir las 2 rectas. La línea de pliegue, la de simetría del ángulo, determina la bisectriz con mayor precisión que un transportador si los trazos son suficientemente finos y bien visibles, para lo cual conviene hacerlos con marcador negrode punta fina, no con lápiz.# Se quiere determinar el centro de un círculo y no hay ningún [[herramienta, instrumento, utensilio, útil|instrumento]] que permita hacerlo (no se fabrican comercialmente). Se dibuja la circunferencia del borde en papel; se trazan 2 tangentes cualesquiera a ella; se determina, por plegado, la bisectriz del ángulo determinado por las dos tangentes; se trazan otras dos tangentes aproximadamente perpendiculares a las anteriores y se traza del mismo modo la nueva bisectriz. La intersección de las dos bisectrices es el centro del círculo, porque ambas bisectrices son líneas de simetría de la circunferencia (hay infinitas) y su intersección es el centro de inversión (también una simetría) de la circunferencia, el centro geométrico del circulo que determina (véase la figura adjunta).
Hay muchas aplicaciones más de este tipo, útiles en trabajos de carpintería o de armado de objetos de formas regulares. Todos los polígonos regulares tienen numerosas líneas de simetría que facilitan su trazado en papel. Encuéntrelas.