Distancia al horizonte

La distancia al horizonte es la longitud del segmento imaginario de línea recta determinado en un extremo por el ojo del observador y en el otro por un punto del límite entre la tierra y el cielo (el horizonte). La distancia al horizonte sólo tiene un valor único en zonas muy planas y extendidas, tales como una gran pradera sin árboles o un mar u océano. En estos casos el valor de la distancia al horizonte depende críticamente de la altura de los ojos del observador respecto del plano del suelo o del agua. En este artículo se discute la manera de calcularla.

Para qué sirve el cálculo

La pregunta sobre el valor de la distancia al horizonte surge hoy mayoritariamente como una curiosidad sin motivaciones prácticas, como cuando parados en una playa nos preguntamos cuan lejos está el horizonte. Históricamente tenía un gran valor práctico en situaciones como las siguientes:

• Necesidad de advertir a los buques que viajaban en la noche, mediante faros, de la proximidad de una costa. La altura del faro determinaba la distancia de la costa a la que se recibía el aviso.
• Detección lo más temprana posible de la presencia en el mar de un buque enemigo que venía hacia nosotros. Los vigías se ubicaban para ello en la parte más alta del buque, en una cofa del mástil más alto. Los navios españoles que retornaban con los tesoros americanos hacían uso intensivo de esta técnica durante la época colonial para detectar a los barcos piratas.
• Ubicación de los ejércitos enemigos mediante la observación desde un globo a la mayor altura posible, por las mismas razones que el caso anterior. Fue una técnica muy usada durante la Primera Guerra Mundial.

El saber empírico de que la vista abarca la máxima extensión desde el lugar más alto posible tiene hoy aplicaciones mayoritariamente estéticas en las excursiones a las cimas de montañas y en los miradores o puntos panorámicos. Aunque carezca de valor práctico, el cálculo de la distancia al horizonte es un excelente ejemplo de la aplicación de saberes científicos (en este caso, geométricos) para el cálculo de una longitud que no puede medirse directamente con una cinta métrica.

Cálculo de la distancia al horizonte

Cálculo de la distancia al horizonte.

Las mediciones indirectas de longitudes hechas exclusivamente con lápíz y papel se basan usualmente en la Geometría, método científico de resolución de problemas de este tipo. En este caso, como se discute a continuación, basta usar una propiedad bien conocida de los triángulos rectángulos, la relación entre las longitudes de sus lados que brinda el Teorema de Pitágoras. Como en todos los problemas donde se usan propiedades geométricas, hay que hacer algunas aproximaciones o simplificaciones que es es necesario explicitar, así como hacer una representación gráfica que se corresponda —también sólo de modo aproximado— con la realidad. Esta representación se da en la figura adjunta, donde se hacen las siguientes simplificaciones:

• Se toma la Tierra como una esfera perfecta: es decir, su sección con un plano que pasa por su centro C es una circunferencia de radio R igual a 6.371 km. En realidad es levemente achatada, donde la distancia del centro a los polos es unos 22 km menor que la del centro al ecuador. Hay también deformaciones del terreno y mareas en los océanos, cuyo efecto no se tiene en cuenta.
• Se supone que el rayo de luz —el segmento AB— es un segmento recto. Como los rayos de luz sólo se propagan rectilíneamente en medios transparentes de densidad uniforme, hay que suponer que la densidad del aire (o sea, su temperatura) lo es. La curvatura de los rayos de luz en medios de temperatura no uniforme es responsable de los espejismos.
• La altura a de los ojos del observador está enormemente exagerada en la figura, lo que conduce a un ángulo ACB muchisimo mayor que el real. Si la figura estuviera en escala real el segmento d tendría unos 2.000 km de longitud. Esto no afecta el razonamiento, válido para cualquier valor de a.

El triángulo ABC tiene las siguientes propiedades:

1. El lado AB es tangente a la circunferencia en el vértice B. Una propiedad geométrica de la circunferencia es que sus tangentes en cualquier punto son perpendiculares a la línea que une ese punto con el centro. En consecuencia, el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el vértice B.
2. La longitud del cateto BC es el radio R de la Tierra, dato conocido.
3. La longitud de la hipotenusa AC es la suma del radio R y la altura a, de valor también conocido.
4. Por ser rectángulo, el triángulo satisface el Teorema de Pitágoras que asegura que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos:

Como se verá a continuación, estas propiedades bastan para determinar la distancia al horizonte: la longitud d del cateto AB. En la figura se representa también el caso de una altura menor para ilustrar que en este caso la distancia al horizonte, el segmento de trazo más fino y color gris más claro, es también menor.

Por el teorema de Pitágoras

(a + R)² = d² + R².

Despejando d, la magnitud desconocida, en términos de las conocidas se obtiene:

d = √(a² + 2a·R) = √(a·[a + 2R]).

Una manera de recordar esta fórmula es notar que expresa d como la media geométrica de la distancia al suelo y a las antípodas. Si se reemplazan los valores de a y R se obtiene el valor de d. Por ejemplo, para a = 1,60 m, la altura de los ojos de un argentino varón promedio de altura total 1,75 m, da d = 4,5 km. En el punto más alto de la superficie terrestre, la cima del monte Everest (8.848 m sobre el nivel del mar), la misma persona vería el horizonte marino a unos 336 km de distancia. En realidad el mar más cercano, el Índico, está a más de 336 km del Everest, así que habría que considerar la misma altura pero en medio del océano.

La fórmula puede simplificarse para cualquier punto de la superficie terrestre, como puede verse reescribiéndola de la siguiente manera:

d = √(a·[a + 2R]) = √(2a·R·[1 + a/2R]).

Por lo dicho antes, para cualquier punto sobre la superficie terrestre el valor de a/2R es menor o igual que 8.848/2·6.371.000 < 0,001. Por eso puede despreciarse el segundo término del corchete, dando así

d = √(2a·R) = 3,57·√b km,

donde b es ahora el valor numérico de la altura a expresada en metros (a = b m). Haciendo de nuevo la cuenta inicial para b igual a 1,75 se verifica que d vale 4,5 km. No se debe dar más de 2 o 3 dígitos ya que las aproximaciones usadas generan un error usualmente mayor que el segundo dígito.

Fuentes

• Perelman, Yakov; Geometría recreativa. Se discuten y hacen cálculos variados que usan el valor de la distancia al horizonte.

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