Las operaciones elementales de simetría de [[cuerpo]]s (objetos materiales reales y rígidos) son los centros de inversión, las rotaciones, las líneas y los planos de simetría, así como todas sus posibles combinaciones. La formulación matemática de las operaciones de simetría y sus propiedades es hecha por la Teoría de Grupos.
==Líneas de simetría: aplicación a los triángulos=====Triángulos===
Una de los casos más simples de simetría es la línea de simetría que tienen algunas figuras planas, también llamada ''línea de reflexión'', porque pueden obtenerse figuras con estas características usando un espejo (la línea de reflexión sería el borde del espejo). Las figuras con esta característica se dice que tienen ''simetría bilateral''. La Figura 1 es una composición hecha para que un rostro tenga simetría bilateral perfecta (la línea de simetría está marcada en negro), lo que nunca sucede en la realidad. Algunos psicólogos afirman que la mitad derecha y la mitad izquierda de un rostro son siempre diferentes porque están "gobernadas" por diferentes [http://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio_cerebral hemisferios cerebrales], reflejando una los pensamientos racionales y la otra los sentimientos. La descripción más simple de esta simetría es que dada cualquier línea perpendicular (en este caso horizontal) a la línea de simetría (en este caso vertical) a cada pixel de pantalla de la Figura 1 le corresponde otro pixel de idéntico color que está a la misma distancia de la línea de simetría, pero del otro lado. Se puede dar una descripción matemática más precisa, pero requiere el uso de ejes coordenados cartesianos y matrices, no siendo esencial para la comprensión de lo que es una simetría. Para promover esta comprensión no se justifica usar figuras tan complejas como un rostro, ni tampoco colores, basta usar líneas negras simples como la de la Figura 2, donde la línea de simetría es la vertical de trazos.
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[[Archivo:Círculo centro por bisectrices.jpg|200px|right|thumb|<center>'''Determinación del centro de un círculo por trazado de tangentes y bisectrices.</center>]]
En la Figura 3 se muestra un triángulo escaleno. La manera más fácil de verificar si tiene alguna línea de simetría es dibujarlo en un trozo de papel y probar de doblarlo en dos de modo que se superpongan exactamente los trazos de ambas mitades (como corresponde a la definición de línea de simetría). Ésto es imposible de lograr si los tres lados son de longitudes diferentes. El fracaso en la tarea, aunque sea de un gran número de personas, no es una demostración matemática, se requiere un argumento que asegure que nadie podrá nunca encontrar una línea de simetría en un triángulo escaleno. El argumento se puede esbozar así:
Un subgrupo de los triángulos isósceles, los equiláteros, resulta tener 3 líneas de simetría, como ilustra la Figura 5. No hay triángulos que tengan sólo 2 líneas de simetría, ¿por qué? Porque si hay 2 líneas de simetría diferentes, no perpendiculares, la reflexión de una respecto de la otra genera una línea de simetría adicional. Este argumento es complicado de demostrar rigurosamente, pero puede ilustrarse fácilmente mediante adecuados plegados de papel.
[[Archivo:Círculo centro por bisectricesBoletos capicúas.jpg|250px180px|rightleft|thumb|<center>Determinación del centro '''CDos boletos capcúas.'''</center>]] ===Números capicúas===Las operaciones de simetría pueden aplicarse a clases de objetos mucho más amplias que las figuras geométricas. Un ejemplo es el de los números llamados ''capicúas'' , que se leen de la misma manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La parte izquierda de la figura adjunta muestra un círculo boleto de tren cuyo número es 99999, o ''boleto capicúa''. Si la existencia de una línea de simetría se interpreta como la igualdad de los dígitos que están a la misma "distancia" (cantidad de posiciones) a izquierda o derecha de la misma, este número tiene una línea de simetría que pasa por trazado el 9 central (el 3º contando desde la izquierda). La simetría es aquí demasiado alta ya que hay también simetrías de traslación de los dígitos, que pueden intercambiarse libremente. La figura de la derecha muestra un boleto capicúa mucho más común, que no contiene dígitos repetidos. Hay números capicúas de tangentes cualquier cantidad de dígitos, aunque la línea de simetría pasa por un dígito cuando su cantidad es impar y bisectricesentre dos dígitos cuando la cantidad es par. Es superstición popular considerar que los números capicúas traen buena suerte.<La razón es probablemente su escasez, lo que hace improbable su obtención, cómo los tréboles de 4 hojas. Para el caso ilustrado de 5 dígitos (usual para los boletos), sólo 1 de cada 100 números es capicúa (probabilidad 1/center>]]100 = 0,01). Para el caso de 6 dígitos, sólo 1 de cada 1.000. ¿Se anima a encontrar la fórmula que da la probabilidad de ocurrencia de un número capicúa en un número de ''n'' dígitos? Este problema es de un nivel adecuado para su resolución por alumnos de 4º o 5º año del secundario; en su determinación la existencia y ubicación de una línea de simetría tiene un rol central.
===Aplicaciones prácticas de líneas de simetría===