Concepto de número natural

El origen del concepto de número no es matemático, sino al revés. La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y de las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos, después como una disciplina independiente de sus aplicaciones. En este artículo se discute el origen intuitivo del concepto de número, poniendo en evidencia —con fines educativos— sus dos rasgos fundamentales independientes: el cardinal y el ordinal. Aunque todavía hay polémicas sobre el peso que debe darse a cada uno y el orden en que deben introducirse en el aula, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación de los instrumentos matemáticos del cálculo.

Introducción

Usamos continuamente el concepto de número, pero prestamos escasa o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales que lo fundamentan. La principal manera de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso de desarrollo cognitivo de los niños, como han hecho numerosos psicólogos (véase, por ejemplo, el trabajo de Brainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). El objetivo de este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales.

El concepto de número se desarrolla después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellos. Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de objetos, como piedras, monedas, perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de número, concepto que incluye más características que el de la mera diversidad en cantidad. No es que todos loss agrupados sean idénticos, es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupaciones, en Matemática llamados conjuntos, de "piedritas", comos intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, en lo sucesivo, el concepto de ente, más general que el de objeto que es un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipo.

Los números tienen dos rasgos completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciar: el cardinal y el ordinal. La combinación de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a magnitudes como las longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más.

En lo que sigue se discuten los rasgos cardinal y ordinal, así como las operaciones más básicas que se pueden hacer con los números naturales: sumarlos y restarlos. En todos los casos se usará el término ente para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similares. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de elementos, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente se usarán sólo agrupaciones de elementos idénticos, sólo en una etapa avanzada es viable formarlas con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y resta, donde los elementos deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicas.

Cardinal de un conjunto

Para facilitar la comprensión del tema se introduce el concepto de cardinal con el ejemplo siguiente.

El jefe de una tribu decide invitar a todos los jefes de familia a una reunión donde se discutirán temas comunes de gran importancia. Para asegurar la buena voluntad de todos y no despertar la enemistad de nadie, quiere hacer a todos y cada uno de ellos un regalo idéntico que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar, de modo que el jefe no sabe como asegurarse de que la cantidad de regalos será la justa, de modo de no saltearse a nadie ni preparar regalos sin destinatario. Cuando plantea el problema a sus consejeros, el más viejo y sabio de todos —su primer consejero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manos.

Para llevar a cabo su tarea el primer consejero se provee de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda y lo coloca en la derecha. Cuando termina de ver a todos lleva la bolsa izquierda a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos como porotos hay en interior.

El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en la bolsa izquierda. Lo único que tuvo que hacer corresponder un poroto y sólo uno a cada jefe de familia, destreza natural en todas las personas adultas normales. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron.

La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina biyección—establece la igualdad del cardinal de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que el cardinal no es un rasgo propio de un objeto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala ya que los números no son objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanas.

==Orden de los elementos de un conjunto==El origen del concepto de número no es matemático, sino al revés. La Matemática surgió cuando se sistematizó y amplió el concepto de número y de las operaciones que se pueden hacer con ellos, primero con fines prácticos, después como una disciplina independiente de sus aplicaciones. En este artículo se discute el origen intuitivo del concepto de número, poniendo en evidencia —con fines educativos— sus dos rasgos fundamentales independientes: el cardinal y el ordinal. Aunque todavía hay polémicas sobre el peso que debe darse a cada uno y el orden en que deben introducirse en el aula, su desarrollo en el educando es crucial para una buena asimilación de los instrumentos matemáticos del cálculo.

Introducción

Usamos continuamente el concepto de número, pero prestamos escasa o nula atención a su naturaleza y menos todavía a los conceptos más elementales que lo fundamentan. La principal manera de analizar los últimos es rastrear su aparición en el proceso de desarrollo cognitivo de los niños, como han hecho numerosos psicólogos (véase, por ejemplo, el trabajo de Brainerd y las críticas que le hicieron otros investigadores). El objetivo de este artículo no es analizar la evolución histórica del estudio del concepto de número, ni en Psicología ni en Matemática, sino establecer de modo fácilmente comprensible por no especialistas —en particular por un docente primario promedio— sus rasgos primordiales.

El concepto de número se desarrolla después que el niño es capaz de establecer la permanencia de objetos y diferenciar categorías de ellos. Es decir, cuando puede individualizar objetos y percibir semejanzas y diferencias muy básicas entre ellos. Es entonces cuando puede comprender la agrupación de una o más instancias de una misma categoría de objetos, como piedras, monedas, perros, árboles, personas... Éste es el primer paso de la cuantificación que recién culminará en el concepto matemático de número, concepto que incluye más características que el de la mera diversidad en cantidad. No es que todos los entes agrupados sean idénticos, es sólo que los sentidos y el cerebro humano tienen la capacidad de percibir y procesar selectivamente ciertos rasgos comunes que permiten la agrupación de los mismos en clases o categorías de modo comunicable a otras personas. Así, dentro de un cierto rango de tamaño, se puede hablar de agrupaciones, en Matemática llamados conjuntos, de "piedritas", como entes intercambiables que no requieren o deben ser diferenciados unos de otros. Es en este sentido que se usa aquí, en lo sucesivo, el concepto de ente, más general que el de objeto que es un cuerpo material con límites bien definidos. La razón es que el concepto de número no sólo caracteriza objetos, sino también representaciones de objetos y símbolos que no corresponden a objetos materiales de ningun tipo.

Los números tienen dos rasgos completamente diferentes que es necesario identificar y diferenciar: el cardinal y el ordinal. La combinación de estos rasgos, y otros más, con algunas operaciones que pueden hacerse con ellos, conducen al concepto de número natural, el más sencillo de todos, ordenados en la secuencia creciente 1, 2, 3, 4… Esto conduce luego, de modo bastante similar, a magnitudes como las longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cargas eléctricas y otros. La importancia tecnológica de las magnitudes numéricamente cuantificadas es que permiten la formulación de leyes de fenómenos que son la base de desarrollos como la Electrónica y todos los artefactos basados en ella: televisores, computadoras, teléfonos móviles y muchísimos más.

En lo que sigue se discuten los rasgos cardinal y ordinal, así como las operaciones más básicas que se pueden hacer con los números naturales: sumarlos y restarlos. En todos los casos se usará el término ente para ser totalmente abarcativo, pero en el aula deben usarse inicialmente objetos materiales fáciles de conseguir en cantidad, como botones, piedritas, fósforos, porotos, monedas u otros similares. Recién en una segunda etapa pueden usarse representaciones de entes, como círculos coloreados u otras formas simples. Sólo en la tercera etapa pueden usarse agrupaciones de ideas, símbolos y términos abstractos de cualquier tipo. Inicialmente se usarán sólo agrupaciones de entes idénticos, sólo en una etapa avanzada es viable formarlas con objetos de categorías diversas, genéricamente designadas como cosas para el análisis de su cardinalidad. Ésto no es viable para las operaciones de suma y resta, donde los entes deben ser idénticos, como sucede con las magnitudes físicas.

Cardinal de un conjunto

Para facilitar la comprensión del tema se introduce el concepto de cardinalidad con el ejemplo siguiente.

El jefe de una tribu decide invitar a todos los jefes de familia a una reunión donde se discutirán temas comunes de gran importancia. Para asegurar la buena voluntad de todos y no despertar la enemistad de nadie, quiere hacer a todos y cada uno de ellos un regalo idéntico que debe ser preparado con cierta anticipación. Ninguno de los miembros de la tribu sabe contar, de modo que el jefe no sabe como asegurarse de que la cantidad de regalos será la justa, de modo de no saltearse a nadie ni preparar regalos sin destinatario. Cuando plantea el problema a sus consejeros, el más viejo y sabio de todos —su primer consejero o consejero principal— lo tranquiliza diciéndole que él se ocupará de que no haya ningún error. El jefe deja entonces el asunto en sus manos.

Para llevar a cabo su tarea el primer consejero se provee de bolsos sin agujeros que cuelga de cada uno de sus hombros. El de la izquierda está completamente lleno de porotos desecados, fáciles de transportar y díficiles de extraviar. El de la derecha está vacío. Así aviado parte a visitar, uno por uno, a los jefes de todas las familias de la tribu a los que conoce bien. Cada vez que invita a uno de ellos saca un poroto de la bolsa izquierda y lo coloca en la derecha. Cuando termina de ver a todos lleva la bolsa izquierda a la encargada de confeccionar los regalos, indicándole que debe hacer tantos como porotos hay en interior.

El primer consejero no necesitó saber contar, ni siquiera necesitó tener un nombre para designar la cantidad de porotos que juntó en la bolsa izquierda. Lo único que tuvo que hacer corresponder un poroto y sólo uno a cada jefe de familia, destreza natural en todas las personas adultas normales. Lo mismo hizo la encargada de los regalos, haciendo un regalo y sólo uno por cada poroto que le entregaron.

La relación de correspondencia así establecida —que en Matemática se denomina biyección—establece la igualdad de la cardinalidad de cada uno de los tres conjuntos comparados: el de los jefes de familia, el de los porotos, el de los regalos. Nótese que la cardinalidad no es un rasgo propio de un conjunto, sino una relación entre un conjunto de referencia que se considera como invariable (en este caso el de los jefes de familia) y otros conjuntos cualesquiera. Como la cardinalidad es un rasgo esencial de los números, ésto nos señala ya que los números no son objetos, sino construcciones mentales, es decir, humanas.

Orden de los entes de un conjunto

Fuentes

Brainerd, Charles J.; The origins of Number Concepts (Los orígenes de los conceptos de número); revista Scientific American, vol. 223 Nº 3; EEUU; marzo de 1973; pp. 101‑109.
Lakoff

Véase también

Fuentes

Brainerd, Charles J.; The origins of Number Concepts (Los orígenes de los conceptos de número); revista Scientific American, vol. 223 Nº 3; EEUU; marzo de 1973; pp. 101‑109.
Lakoff

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Concepto de número natural

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Introducción

Cardinal de un conjunto

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Cardinal de un conjunto

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