El origen de la Matemática no se refiere aquí a su historia y evolución —aunque este aspecto no puede omitirse— sino a la relación que hay entre esta ciencia y la realidad. De las muchas teorías que los filósofos de la Matemática han elaborado sobre el tema (esbozadas en el artículo de Wikipedia citado en Fuentes) sólo se discute aquí uno de los modelos más plausibles, avalado por destacados pensadores como el biólogo Jean Piaget, el matemático George Pólya y los filósofos Edmund Husserl (1859-1938] yLudwig Wittgenstein (1889-1951). Esta teoría o modelo es denominada por algunos constructivismo, por otros psicologismo, pero comparte muchos rasgos con el intuicionismo y el estructuralismo. Aunque hay muchas diferencias en los detalles de sus diferentes variantes, todas ellas coinciden en un rasgo central: las propiedades matemáticas no son propiedades del mundo inanimado sino del pensamiento humano. Es decir, el origen de la Matemática se encuentra en el esfuerzo hecho en el transcurso del tiempo por los pensadores para representar el mundo exterior a ellos (la realidad) mediante el pensamiento. Resulta así que las reglas básicas de la Matemática son una consecuencia de las del pensamiento, provienen de la estructura del cerebro humano y de la manera en que se usa. El resultado excede hoy el propósito inicial y permite la representación de ciertos aspectos de otros mundos diferentes a aquél en que vivimos, tema que no se discute aquí.
El realismo matemático de Platón y Gödel
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Aunque fundadas en ideas previas, como las de los pitagóricos, el realismo platónico es todavía hoy la expresión principal de la creencia de que la Matemática es independiente de la mente humana. En esta concepción los entes matemáticos son realidades abstractas eternas e inmutables que subyacen la realidad. Los sentidos humanos, incapaces de percibirlos, deben descubrirlos a través del pensamiento, como sucede con los números. En el capítulo 7 de La República, Platón escribe:
- —¿Qué quieres decir?
- —Quiero decir que la Aritmética tiene un importante e inspirador efecto, obligando al alma a razonar sobre los números abstractos y rebelándose contra la introducción de argumentos basados en objetos tangibles y visibles.
El platonismo de Kurt Gödel postula una intuición matemática que permite percibir de modo directo los entes matemáticos, aunque incorpora conceptos de la Teoría de Conjuntos inexistentes en la época de los filósofos griegos "intuicionistas".
No son los matemáticos los únicos defensores del platonismo matemático, hay muchos físicos destacados que adhirieron a esta creencia. Uno de los que discutió el tema en un trabajo científico fue el destacado físico húngaro Eugene Paul Wigner, quien señalaba que no podía ser casual que el mundo inanimado pudiera ser tan bien descripto por métodos matemáticos, por lo que su estructura debía necesariamente ser matemática (The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, revista Communications on Pure and Applied Mathematics, Nº 13, 1960, pp. 1‑14). Un físico aún más destacado que compartía ese sentimiento fue Albert Einstein (revista Die Naturwissenschaften vol. 18, 1930, p. 536).
Algunos hitos
El filósofo inglés John Stuart Mill (1806-1873) señala en su libro A System of Logic (tomo II, pp. 172‑173 )
- If the extreme generality and remoteness, not so much from sense as from the visual and tactual imagination, of the laws of number, renders it a somewhat difficult effort of abstraction to conceive those laws as being in reality physical truths obtained by observation. (En realidad, las leyes de los números son verdades físicas provenientes de la observación, aunque su extrema generalidad y abstracción —así como su inaccesibilidad a los sentidos de la vista y del tacto— hace difícil concebir que lo son.)
- Every theorem in geometry is a law of external nature, and might have been ascertained by generalizing from observation and experiment, which in this case resolve themselves into comparison and measurement. (Los teoremas de la geometría son leyes del mundo externo. Podrían haber sido formulados por generalización a partir de la observación y experimentación, que en este caso se reducen a comparaciones y mediciones.)
Mill es el fundador del empirismo matemático, escuela de pensamiento para la cual los conceptos matemáticos proceden del mundo físico. Las verdades de la matemática son, al menos en su origen histórico, verdades acerca del mundo físico, aunque de carácter abstracto (véase el concepto de estructura) y más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas. A medida que la matemática se diversificó y creció como disciplina científica, se establecieron métodos cada vez más precisos y rigurosos de demostración a partir de postulados básicos. Surgieron así campos cada vez más alejados de la experiencia humana, donde los criterios de verdad no provienen de la concordancia con objetos reales sino de la preservación de esos postulados.
El mátemático, físico y filósofo de la ciencia francés Henri Poincaré escribió en 1902 en La Science et l'hypothèse, capítulo II:
- Les mathématiciens n'étudient pas des objets, mais des relations entre les objets ; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d'autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse. (Los matemáticos no estudian objetos, sino relaciones entre objetos; les es indiferente reemplazar un objeto por otro siempre y cuando las relaciones no cambien. No les importa la materia, sólo la forma.)
La matemática, así como el saber racional y la lógica están basados en mecanismos de funcionamiento del cerebro humano algunas de cuyas reglas fueron por primera vez explicitadas por George Boole en su libro Las leyes del pensamiento publicado en 1854 cuyo principal aporte fue dilucidar las reglas de verdad de las proposiciones. Estas reglas constituyen lo que hoy se denomina Álgebra de Boole y constituye la base del funcionamiento de las computadoras, dispositivos que, como sabemos, son capaces de simular de manera cada vez más amplia, algunos modos de funcionamiento de la inteligencia humana. Las relaciones básicas subyacentes en el razonamiento humano son las matemáticas de la Teoría de Conjuntos y la Topología: pertenencia, inclusión, unión (adición), intersección (producto), diferencia o complementación, y orden. Son la base de operaciones elementales como las de clasificación, subyacen el fenómeno del lenguaje humano y su evolución a lo largo del crecimiento humano ha sido estudiado por la escuela constructivista iniciada por Jean Piaget.
Según Husserl la Matemática está dentro de la mente humana y no en el mundo exterior, y la geometría es una cognición cuasiespontánea que en una fase preliminar apareció como derivada de un proceso consistente en intuir (en el sentido kantiano), abstraer y nombrar. En otras palabras, los humanos conceptualizamos y definimos casi simultáneamente al determinar patrones externos en el mundo determinado por nuestra percepciones sensoriales, pero en concordancia con nuestras capacidades conceptuales. (Keferstein, p. 8.)
A mediados del siglo XX coincidieron una vez en un congreso internacional Piaget y el conocido matemático francés Dieudonné. Éste integraba, junto con los mejores matemáticos franceses de la época, un grupo denominado Bourbaki que se había propuesto (y así lo hizo) reformular toda la Matemática en términos de unos pocos principios elementales. La obra se concretó en una serie de volúmenes que son la referencia obligada del tema. Piaget señaló a Dieudonné que los principios básicos identificados por el grupo Bourbaki eran casi totalmente coincidentes con los hallados por él y sus colaboradores en el estudio de los procesos cognoscitivos. Greimas, en sus estudios de semantica literaria identificó (profundizando lo hecho por otros autores) los componentes básicos del significado, los semas (que algunos autores denominan rasgos semánticos).
El desarrollo más completo y reciente del tema fue hecho conjuntamente por el lingüista George Lakoff y el psicólogo Rafael Núñez en el libro Where Mathematics comes from. Aunque el análisis está basado en el uso de metáforas, puede fácilmente trasponerse al de rasgos semánticos.
Fuentes generales
- Philosophy of mathematics en Wikipedia en inglés. Un detallado análisis con numerosos enlaces a distintas teorías sobre la naturaleza y el origen de la Matemática.
- Boole, George; An Investigation of the Laws of Thought en Proyecto Gutenberg. Hay versión castellana editada por Paraninfo (Madrid, España) en 1982.
- Greimas, A. J.; Semántica estructural. Investigación metodológica; Editorial Gredos; Madrid (España); 1971.
- Husserl, Edmund; The Origin of Geometry en The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology: An Introduction to Phenomenological Philosphy (traducción inglesa del texto original en alemán, Die Krisis der europäischen Wissenschaften und die tranzendentales Phänomenologie: Eine Einleitung in die phänomenologiesche Philosophie); NorthWestern University Press; 1970; pp. 24‑28. La versión inglesa del texto está disponible en Internet en la digitalización del libro de Jacques Derrida[1]; University of Nebraska Press; EEUUU; 1989; pp. 157‑180.
- Keferstein Caballero, Lutz Alexander; El origen de la geometría de Husserl y las abstracciones lingüísticas y matemáticas; revista Opción; febrero de 2013; pp.&nsp;29‑37[2].
- Lakoff, George & Núñez, Rafael; Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics Into Being; Basic Books; New York (USA); 2000; ISBN 9780465037711 (Lakoff&Núñez WMCF). De donde viene la Matemática: cómo la mente corporeizada da origen a la Matemática. Hay numerosos comentarios (y polémicas) sobre el libro[3][4][5].
- Poincaré, Henri; La Science et l'hypothèse; Francia; 1902; capítulo II.
- Wittgenstein, Ludwig; Tractatus logico-philosophicus; Edit. Altaya; Barcelona (España); 1994; ISBN 8448701569.
Véase también